📚 课程目录第3章普朗克公式的推导（一）

3、普朗克公式的推导（一）：玻尔兹曼熵与统计权重、谐振子平均能量的计算

好，我们正式开始推导普朗克公式。说实话，这是整个量子力学里我最喜欢的一段推导——它不靠什么玄妙的假设，而是用经典统计力学的方法，硬生生把黑体辐射的公式给“算”了出来。你想想看，普朗克当时手里只有两样东西：玻尔兹曼的统计思想和麦克斯韦的谐振子模型。结果呢？他捅破了经典物理的天花板。

我个人习惯把这段推导拆成三个台阶：统计权重 → 熵 → 平均能量。今天我们先走前两步，把玻尔兹曼熵和统计权重的概念理清楚，然后算出谐振子的平均能量。

先问一个问题：为什么黑体辐射的公式里会出现熵？

普朗克当时面临一个困境——维恩公式在短波好使，瑞利-金斯公式在长波好使，但没人能把它们统一起来。普朗克发现，问题的根子在“能量怎么分配”上。而能量分配，本质上是个统计问题。

玻尔兹曼给了我们一个关键公式：

S = k_B · ln W

其中：

这个公式说白了就是：熵越大，系统可能的微观状态数越多。我在项目中遇到过不少同学，背公式背得滚瓜烂熟，但问他们“为什么熵是 ln W 而不是 W 本身？”就卡住了。其实原因很简单——熵是广延量，两个独立系统的总熵要能相加，而微观状态数是相乘的，取对数正好把乘法变加法。

核心理解：玻尔兹曼熵不是凭空定义的，它是从“等概率原理”推导出来的。每个微观状态出现的概率相等，那么系统最可能的状态就是微观状态数最多的那个——也就是熵最大的状态。

现在我们把问题具体化。普朗克考虑的是黑体空腔壁上的谐振子，每个谐振子有特定的频率 ν。这些谐振子之间可以交换能量，但总能量是固定的。

假设我们有：

这里 ε 就是普朗克后来引入的“能量子”，ε = hν。但在推导这一步，我们先把它当作一个待定的能量小单元。

那么问题来了：把总能量 E_N 分配给 N 个谐振子，有多少种分配方式？

这其实是个经典的“球与隔板”问题。把总能量 E_N 看作 P 份能量子，每份大小为 ε：

P = E_N / ε

现在要把 P 个不可区分的能量子分配到 N 个可区分的谐振子中。每个谐振子可以拿 0 份、1 份、2 份……不限量。

统计权重 W 就是：

W = (N + P - 1)! / [P! · (N - 1)!]

这个公式怎么来的？我建议你把它记成“把 P 个球放进 N 个盒子，盒子可以空”的组合数。嗯，这里要注意：能量子之间不可区分，但谐振子之间可区分——这是统计的关键。

避坑指南：我曾经在计算 W 时犯过一个低级错误——把能量子当成了可区分的粒子。结果算出来的熵完全不对。记住：能量子没有“身份标签”，它们只是能量的份额。

有了 W，熵就好办了。代入玻尔兹曼公式：

S = k_B · ln W
   = k_B · ln{ (N + P - 1)! / [P! · (N - 1)!] }

当 N 和 P 都很大时（宏观系统），我们可以用斯特林公式近似：

ln(n!) ≈ n·ln(n) - n

经过一番代数运算（我建议你自己推一遍，很锻炼手感），得到：

S = k_B · [ (N + P)·ln(N + P) - P·ln(P) - N·ln(N) ]

这个熵是 N 个谐振子的总熵。但我们需要的是单个谐振子的平均行为，所以接下来要算平均能量。

单个谐振子的平均能量怎么算？

热力学告诉我们，温度 T 与熵的关系是：

1/T = ∂S / ∂E

其中 E 是系统的总能量。在我们的系统里，E = P·ε。所以：

1/T = ∂S / ∂(P·ε) = (1/ε) · ∂S/∂P

把 S 对 P 求偏导：

∂S/∂P = k_B · [ ln(N + P) - ln(P) ] = k_B · ln( (N + P) / P )

于是：

1/T = (k_B / ε) · ln( (N + P) / P )

整理一下：

P / N = 1 / [ exp(ε / (k_B T)) - 1 ]

单个谐振子的平均能量 ⟨E⟩ 就是总能量除以谐振子数：

⟨E⟩ = (P·ε) / N = ε / [ exp(ε / (k_B T)) - 1 ]

看，这就是我们想要的结果！

关键结论：谐振子的平均能量 ⟨E⟩ = ε / [exp(ε/k_B T) - 1]。这个形式在普朗克公式中会原封不动地出现。注意，这里 ε 还是待定的能量子大小，普朗克后来才把它确定为 hν。

下面这张图把整个推导脉络画出来了，你可以对照着理一遍思路：

⚠️ 常见误区：