4、高阶拉盖尔-高斯光束：涡旋与轨道角动量

拉盖尔-高斯光束，说白了就是给高斯光束加了个“螺旋相位”。我最早接触它是在做光镊项目时，想用光束旋转微粒。结果发现，普通高斯光束根本转不起来——直到我换成了LG光束，效果立竿见影。

这一章，我们来拆解LG光束的核心：拉盖尔多项式、两个关键指数（角向指数l和径向指数p），以及它为什么能携带轨道角动量。

4.1 从数学形式说起

LG光束的电场分布，可以写成：

LG_{lp}(r, φ, z) = C * (r√2/w(z))^|l| * L_p^|l|(2r²/w²(z)) * exp(-r²/w²(z)) * exp(-ikz) * exp(-ilφ) * exp(ikr²/2R(z))

看着复杂？其实就三部分：

• 高斯包络：exp(-r²/w²(z))，这是基础
• 拉盖尔多项式：L_p^|l|(·)，决定径向结构
• 螺旋相位：exp(-ilφ)，这是涡旋的来源

我个人习惯把LG光束想象成“洋葱圈”——径向有p+1个亮环，角向有l个相位周期。

4.2 两个指数：l和p

举个例子：

• LG₀₀：就是普通高斯光束，l=0, p=0
• LG₀₁：一个亮环，无涡旋
• LG₁₀：中心暗斑，一个亮环，有涡旋
• LG₂₀：中心暗斑更大，两个亮环

4.3 涡旋光束与轨道角动量

为什么LG光束能携带轨道角动量？因为它的波前是螺旋形的。你想想看，光子的相位沿角向变化了2πl，这就意味着每个光子携带了lħ的OAM。

我在做光通信实验时，就用这个特性来复用信道——不同l值的LG光束可以独立传输数据，互不干扰。这叫OAM复用，是下一代光通信的热门方向。

4.4 数值模拟实现

下面是我常用的Python代码，生成LG光束的复振幅：

import numpy as np
from scipy.special import genlaguerre

def lg_beam(x, y, z, l, p, w0=1e-3, lam=632.8e-9):
    """
    生成拉盖尔-高斯光束
    x, y: 坐标网格 (m)
    z: 传播距离 (m)
    l: 角向指数
    p: 径向指数
    w0: 束腰半径 (m)
    lam: 波长 (m)
    """
    k = 2 * np.pi / lam
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    phi = np.arctan2(y, x)
    
    # 束宽随z变化
    zR = np.pi * w0**2 / lam  # 瑞利长度
    w = w0 * np.sqrt(1 + (z/zR)**2)
    R = z * (1 + (zR/z)**2) if z != 0 else np.inf
    
    # 归一化常数
    C = np.sqrt(2 * np.math.factorial(p) / 
                (np.pi * np.math.factorial(p + abs(l))))
    
    # 拉盖尔多项式
    L = genlaguerre(p, abs(l))(2 * r**2 / w**2)
    
    # 振幅
    amp = (C / w) * (np.sqrt(2) * r / w)**abs(l) * L
    amp *= np.exp(-r**2 / w**2)
    
    # 相位
    phase = -k*z - k*r**2/(2*R) + l*phi
    phase += (2*p + abs(l) + 1) * np.arctan(z/zR)  # Gouy相位
    
    return amp * np.exp(1j * phase)

4.5 知识结构图

下面这张图帮你理清LG光束的核心逻辑：

4.6 常见参数与效果对照