2、几何光学基础：光线模型、反射定律与折射定律、斯涅尔定律、全反射条件

各位同学，咱们今天聊几何光学。说白了，就是研究光怎么走直线、怎么拐弯、怎么被挡住的一套理论。我刚开始做光学仿真那会儿，觉得这东西太简单了，不就是画几条线嘛。结果真上手做复杂光路系统时，才发现基础不牢，后面全是坑。

好，咱们一步步来。

2.1 光线模型：把光想象成一根线

几何光学里，我们不考虑光的波动性，也不管它是什么电磁波。我们只做一件事——把光抽象成一条带箭头的直线。这条线代表能量传播的方向。

这个模型虽然粗糙，但在绝大多数工程场景下够用了。我做过一个激光准直系统仿真，用光线模型算出来的光斑位置，和实测结果误差不到 0.1mm。所以别小看这几条线。

光线模型有几个关键要素：

• 光线方向：用单位向量表示，指向能量传播方向
• 光线起点：光源位置或前一个界面的出射点
• 光线颜色/波长：决定折射率，影响后续行为
• 光线强度：在纯几何模型中常忽略，但做能量分析时要用

2.2 反射定律：入射角等于反射角

这个大家初中就学过。但做仿真时，我建议你用向量形式来理解，而不是只记角度。

反射定律的向量表达式：

r = i - 2 * (i · n) * n

其中：

• r：反射光线方向向量
• i：入射光线方向向量（指向界面）
• n：界面法向量（指向入射介质一侧）
• ·：点积运算

为什么用向量？因为写代码时，你不可能每次去算角度再转回来。直接用向量运算，一行代码搞定。

2.3 折射定律与斯涅尔定律

光从一种介质进入另一种介质时，传播方向会改变。这就是折射。定量描述这个现象的，就是斯涅尔定律。

公式很简单：

n₁ * sin(θ₁) = n₂ * sin(θ₂)

其中：

• n₁、n₂：两种介质的折射率
• θ₁：入射角（光线与法线的夹角）
• θ₂：折射角

折射率是啥？说白了就是光在真空中的速度除以在介质中的速度。空气的折射率约等于 1.0003，一般工程计算直接取 1。水的折射率约 1.33，玻璃在 1.5 左右。

介质	折射率（约值）	常见应用场景
真空	1.0000	理想参考基准
空气	1.0003	大多数地面光学系统
水	1.3330	水下成像、海洋光学
普通玻璃	1.5000	透镜、棱镜
蓝宝石	1.7700	高硬度窗口、LED衬底
金刚石	2.4200	特殊光学窗口

折射定律的向量形式稍微复杂一点，但写代码时更实用：

t = (n₁/n₂) * i + [ (n₁/n₂) * cos(θ₁) - sqrt(1 - (n₁/n₂)² * (1 - cos²(θ₁))) ] * n

其中 cos(θ₁) = - (i · n)。注意这里 i 指向界面，n 指向入射介质。

2.4 全反射条件

光从光密介质射向光疏介质时（比如从玻璃射向空气），如果入射角大于某个临界值，光就不会进入第二种介质，而是全部反射回去。这就是全反射。

临界角公式：

θ_c = arcsin(n₂ / n₁)

当 n₁ > n₂ 时，这个公式才有意义。如果 n₁ ≤ n₂，永远不会发生全反射。

举个例子：光从玻璃（n=1.5）射向空气（n=1.0），临界角约为 41.8°。入射角超过这个值，光就出不去了。

全反射的判断流程：

1. 判断是否从光密到光疏（n₁ > n₂）
2. 计算临界角 θ_c = arcsin(n₂ / n₁)
3. 比较入射角 θ₁ 与 θ_c
4. 若 θ₁ ≥ θ_c，发生全反射，只计算反射
5. 若 θ₁ < θ_c，正常计算反射和折射

2.5 知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。你写仿真代码时，按这个流程走，基本不会漏掉关键步骤。

2.6 仿真代码示例

最后，给你一段 Python 代码。这段代码实现了光线与平面界面的交互，包含反射、折射和全反射判断。我自己的仿真工具包里，核心逻辑和这个差不多。

import numpy as np

def trace_ray(origin, direction, normal, n1, n2):
    """
    光线与平面界面交互
    origin: 光线起点 (3,)
    direction: 光线方向 (3,)，已归一化
    normal: 界面法向量 (3,)，指向入射介质
    n1: 入射介质折射率
    n2: 出射介质折射率
    返回: (反射方向, 折射方向, 是否全反射)
    """
    # 确保方向向量归一化
    direction = direction / np.linalg.norm(direction)
    normal = normal / np.linalg.norm(normal)
    
    # 计算入射角余弦
    cos_theta1 = -np.dot(direction, normal)
    
    # 反射方向
    reflect_dir = direction - 2 * cos_theta1 * normal
    
    # 判断是否全反射
    ratio = n1 / n2
    sin_theta1_sq = 1 - cos_theta1**2
    discriminant = 1 - ratio**2 * sin_theta1_sq
    
    if discriminant < 0:
        # 全反射
        return reflect_dir, None, True
    
    # 折射方向
    cos_theta2 = np.sqrt(discriminant)
    refract_dir = ratio * direction + (ratio * cos_theta1 - cos_theta2) * normal
    
    return reflect_dir, refract_dir, False

# 示例：光从玻璃射向空气
origin = np.array([0.0, 0.0, 0.0])
direction = np.array([0.0, -1.0, 0.0])  # 垂直入射
normal = np.array([0.0, 1.0, 0.0])      # 法线向上
n1, n2 = 1.5, 1.0

r_dir, t_dir, is_total = trace_ray(origin, direction, normal, n1, n2)
print(f"反射方向: {r_dir}")
print(f"折射方向: {t_dir}")
print(f"是否全反射: {is_total}")