2. 几何光学基础回顾：透镜成像公式、符号规则、放大率概念

各位好，我是老张。做光学系统设计这么多年，我有个习惯——每次接手新项目，第一件事不是开软件，而是先在纸上画一遍透镜成像。为什么？因为几何光学的基本公式就像地基，地基不稳，楼盖得再高也得塌。

这一章我们回顾三个核心概念：透镜成像公式、符号规则、放大率。别觉得简单，我见过不少工程师在符号规则上栽跟头，一错就是整个系统白算。

2.1 透镜成像公式：高斯公式与牛顿公式

透镜成像公式是几何光学的灵魂。说白了，就是告诉你物和像之间的位置关系。

2.1.1 高斯公式

最常用的形式是高斯公式：

1/f = 1/v - 1/u

其中：

• f —— 透镜焦距（凸透镜为正，凹透镜为负）
• v —— 像距（像到透镜的距离）
• u —— 物距（物到透镜的距离）

注意，我这里用的是符号规则（后面会细讲）。不同教材的符号习惯不一样，我个人建议统一用笛卡尔符号规则，这样在复杂系统中不容易乱。

2.1.2 牛顿公式

有时候用牛顿公式更方便，尤其是做焦距缩短比分析时：

x * x' = f * f'

其中：

• x —— 物到前焦点的距离
• x' —— 像到后焦点的距离
• f —— 前焦距
• f' —— 后焦距（通常 f = f'）

牛顿公式的好处是对称性好，在变焦系统里推导关系时特别顺手。我记得有一次做手机镜头设计，用高斯公式算了好几遍都对不上，换成牛顿公式，十分钟就理清了。

2.2 符号规则：最容易翻车的环节

符号规则是几何光学里最容易出错的地方，没有之一。我当年刚入行时，就因为符号搞反，把一个投影系统的像距算成了负数，结果结构完全装不上。

这里我推荐笛卡尔符号规则，也是目前工程界最通用的：

2.3 放大率：横向放大率与纵向放大率

放大率这个概念，说白了就是像比物大了多少。但要注意，放大率不止一种。

2.3.1 横向放大率（垂轴放大率）

这是最常用的放大率，定义是像高与物高之比：

β = h' / h = v / u

其中：

• β > 0 → 像正立
• β < 0 → 像倒立
• |β| > 1 → 像放大
• |β| < 1 → 像缩小

举个例子：物距 u = -200mm，像距 v = +100mm，那么 β = 100 / (-200) = -0.5。说明像是倒立的，大小是物的一半。

2.3.2 纵向放大率（轴向放大率）

这个很多人容易忽略。它描述的是沿光轴方向的放大关系：

α = dv / du = β²

什么意思？如果横向放大率是 2 倍，那么纵向放大率就是 4 倍。这在变焦系统里特别重要——你移动一点点物距，像距会变化很大。

2.4 知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。你可以把它当作一个思维导图，以后遇到成像问题，先看自己卡在哪一环。

2.5 本章小结

回顾一下，这一章我们讲了三个核心点：

1. 透镜成像公式 —— 高斯公式和牛顿公式，两者可以互相推导，但适用场景不同。做焦距缩短比分析时，牛顿公式更直观。
2. 符号规则 —— 笛卡尔符号规则是工程界的通用语言。记住：实物在左，物距为负；实像在右，像距为正。
3. 放大率 —— 横向放大率决定像的大小和正倒，纵向放大率决定像面的移动灵敏度。两者相差一个平方，千万别搞混。