4、相位恢复技术：Gerchberg-Saxton算法、TIE（传输强度方程）、相位解包裹

相位恢复，说白了就是「从强度反推相位」。

你想想看，探测器只能记录光强，相位信息全丢了。但波前像差诊断偏偏需要相位。怎么办？

我早年做自适应光学系统调试时，最头疼的就是这个环节。探测器拍了一堆光斑图，但波前长什么样，完全不知道。后来才明白，相位恢复就是解决这个问题的。

这一章，我带你过三种主流方法：Gerchberg-Saxton 算法、传输强度方程（TIE）、相位解包裹。它们各有各的脾气，用对了地方，事半功倍。

4.1 Gerchberg-Saxton 算法：迭代中的「来回拉扯」

GS 算法是我个人用得最多的方法之一。它的思路很直观：

1. 在物平面和傅里叶平面之间来回迭代。
2. 每次迭代，用已知的振幅替换计算出的振幅。
3. 相位则保留，慢慢收敛到真实值。

我在项目中遇到过一种情况：用 GS 算法恢复一个二元光学元件的相位分布，迭代了 50 次还不收敛。后来发现，初始相位猜得太离谱了。换成随机相位，反而更快。

下面是一个简化的 GS 算法流程。实际工程中，我会加上支持域约束和振幅正则化。

// 伪代码：Gerchberg-Saxton 算法核心步骤
function GS_iteration(object_amplitude, fourier_amplitude, initial_phase):
    // 1. 构造初始复振幅
    complex_field = object_amplitude * exp(i * initial_phase)
    
    // 2. 傅里叶变换到频域
    fourier_field = FFT(complex_field)
    
    // 3. 替换振幅，保留相位
    fourier_field = fourier_amplitude * exp(i * angle(fourier_field))
    
    // 4. 逆傅里叶变换回物域
    complex_field = IFFT(fourier_field)
    
    // 5. 替换振幅，保留相位
    complex_field = object_amplitude * exp(i * angle(complex_field))
    
    return angle(complex_field)  // 返回更新后的相位

嗯，这里要注意：GS 算法假设光场是相干光。如果是部分相干光，效果会打折扣。我建议先用干涉仪确认一下光源的相干性。

4.2 传输强度方程（TIE）：从「散焦」中找相位

TIE 是另一种思路。它不靠迭代，而是利用光强沿传播方向的变化来求解相位。

说白了，就是拍两张照片：一张在焦面，一张离焦一点。然后解一个偏微分方程，直接算出相位。

我记得有一次做显微成像的波前校正，样品很薄，用 GS 算法怎么都不收敛。换成 TIE，拍了两张离焦图，几分钟就解出了相位。爽快。

TIE 的核心公式长这样：

∂I/∂z = - (λ / 2π) · ∇ · (I · ∇φ)

其中：
I  = 光强分布
φ  = 待求相位
λ  = 波长
∇  = 梯度算子
∂I/∂z = 光强沿传播方向的变化率（由两张离焦图差分得到）

实际求解时，我会用快速傅里叶变换（FFT）解这个泊松方程。速度很快，适合实时系统。

方法	输入	输出	适用场景
GS 算法	物面振幅 + 傅里叶面振幅	相位分布	相干光、已知光瞳
TIE	焦面 + 离焦面光强	相位分布	部分相干光、连续光场
相位解包裹	包裹相位（-π ~ π）	连续相位	所有相位恢复方法的后处理

4.3 相位解包裹：把「锯齿」拉平

不管是 GS 还是 TIE，算出来的相位都是包裹的——值域在 -π 到 π 之间。真实相位可能是 10π、20π，但你看不到，因为被「折叠」了。

相位解包裹，就是把这些折叠的锯齿拉平，恢复出连续的真实相位。

我踩过最大的坑就在这里。有一次解包裹算法没选对，结果相位图出现了一大片「跳变」——看起来像悬崖，实际上是解包裹路径错了。

下面是一个一维解包裹的示意代码：

// 一维相位解包裹（简单路径积分）
function unwrap_phase(wrapped_phase):
    unwrapped = zeros_like(wrapped_phase)
    unwrapped[0] = wrapped_phase[0]
    
    for i in range(1, len(wrapped_phase)):
        delta = wrapped_phase[i] - wrapped_phase[i-1]
        // 如果跳变超过 π，调整
        if delta > pi:
            delta -= 2*pi
        elif delta < -pi:
            delta += 2*pi
        unwrapped[i] = unwrapped[i-1] + delta
    
    return unwrapped

二维解包裹更复杂，因为有多个路径可以选择。我习惯用质量图引导法——先算每个像素的相位质量，然后从高质量区域向低质量区域扩散解包裹。这样能有效抑制噪声传播。

4.4 三种方法的关系与选择

你可能会问：这三种方法到底怎么选？

我的经验是：

• 有光瞳约束、相干光好 → 用 GS。迭代慢一点，但精度高。
• 有离焦图像、部分相干光 → 用 TIE。速度快，适合实时。
• 不管用哪种，最后都要解包裹。这一步别省。

下面这张图，是我自己总结的相位恢复技术知识结构。你可以看到，三种方法最终都指向同一个目标：得到连续的真实相位。