2. 相干性的统计光学基础：随机过程与平稳性、光场的统计描述（一阶与二阶统计）、高斯-谢尔模型光束的引入

各位好，欢迎来到第二章。

上一章我们聊了部分相干光的基本概念，知道了现实世界的光源没有绝对理想的。那问题来了——怎么用数学去描述这种“不完全相干”的光？

我个人习惯，遇到不确定的东西，先把它当成随机过程来处理。光场也不例外。这一章，我们就从统计光学的角度，把光场的随机性讲清楚。

2.1 为什么光场是随机过程？

你想想看，一个热光源（比如白炽灯）发出的光，是大量原子自发辐射的叠加。每个原子的辐射相位、振幅都在随机变化。即便是一台稳频激光器，也存在相位噪声和强度抖动。

所以，光场在时间上和空间上，本质上是一个随机过程。我们无法精确预测某一时刻、某一点的瞬时场值，只能描述它的统计特性。

2.2 平稳性与各态历经性

处理随机过程，我们最怕遇到“非平稳”——统计特性随时间乱变，那就没法分析了。好在大多数光学问题中，光源是稳态工作的。

2.2.1 平稳性

如果一个随机过程的统计特性不随时间原点的平移而改变，我们就说它是平稳的。

• 严格平稳：所有阶次的统计矩都不随时间变化。要求太苛刻，实际很少用。
• 广义平稳（WSS）：只要求均值是常数，自相关函数只依赖于时间差。这是光学中最常用的假设。

2.2.2 各态历经性

平稳性解决了“时间平移”的问题，但还有一个麻烦：理论上，我们需要对大量“样本函数”取系综平均。可现实中，我们只有一台探测器，只能记录一条时间序列。

各态历经性告诉我们：时间平均 = 系综平均。也就是说，用一条足够长的时间记录，就能代替对无数个光源副本的统计。

2.3 光场的一阶统计描述

一阶统计，说白了就是描述光场在单个时刻、单个空间点上的行为。

2.3.1 复振幅的概率密度函数

对于热光（比如太阳光、LED），大量独立辐射源叠加，根据中心极限定理，复振幅的实部和虚部都服从高斯分布。而且实部和虚部是统计独立的，均值为零，方差相等。

写成概率密度函数：

p(U_r, U_i) = (1 / (2πσ²)) * exp[-(U_r² + U_i²) / (2σ²)]

其中 U_r 和 U_i 分别是复振幅的实部和虚部，σ² 是方差。

2.3.2 光强的概率密度函数

光强 I = |U|² = U_r² + U_i²。这个量服从什么分布？

答案是负指数分布：

p(I) = (1/⟨I⟩) * exp(-I/⟨I⟩),  I ≥ 0

其中 ⟨I⟩ 是平均光强。

2.4 光场的二阶统计描述

一阶统计只关心单点，但相干性本质上是两点之间的关系。这就轮到二阶统计上场了。

2.4.1 互相干函数

定义两个时空点 (r₁, t₁) 和 (r₂, t₂) 之间的互相干函数为：

Γ(r₁, r₂, τ) = ⟨U*(r₁, t) U(r₂, t+τ)⟩

其中 τ = t₂ - t₁，尖括号表示系综平均（或时间平均）。

这个函数同时包含了空间相干性和时间相干性的信息。

2.4.2 复相干度

互相干函数经过归一化，得到复相干度：

γ(r₁, r₂, τ) = Γ(r₁, r₂, τ) / sqrt[Γ(r₁, r₁, 0) * Γ(r₂, r₂, 0)]

它的模长 |γ| 在 0 到 1 之间：

• |γ| = 1：完全相干
• |γ| = 0：完全不相干
• 0 < |γ| < 1：部分相干

2.4.3 交叉谱密度函数

在频域中，我们更常用交叉谱密度函数。它是互相干函数关于时间差 τ 的傅里叶变换：

W(r₁, r₂, ω) = ∫ Γ(r₁, r₂, τ) exp(iωτ) dτ

对于窄带光（准单色光），W 可以近似为 Γ 在中心频率处的值，处理起来方便很多。

2.5 高斯-谢尔模型光束的引入

有了上面的统计工具，我们就可以描述具体的部分相干光源了。但问题来了——实际光源的互相干函数千奇百怪，怎么选一个既有物理意义、又便于数学处理的模型？

答案就是高斯-谢尔模型（GSM）。

2.5.1 GSM 的定义

GSM 光束的交叉谱密度函数在空间域上取高斯形式：

W(r₁, r₂) = sqrt[I(r₁) I(r₂)] * exp[-|r₁ - r₂|² / (2σ_g²)]

其中：

• I(r) 是光强分布，通常也是高斯型：I(r) = I₀ exp[-2r² / w₀²]
• σ_g 是相干长度，控制空间相干性的衰减速度

2.5.2 为什么 GSM 这么重要？

特性	说明
数学简洁	高斯函数在傅里叶变换后仍是高斯函数，解析解丰富
物理可实现	许多实际光源（如多模光纤输出、部分相干LED）近似满足GSM
可调参数	通过改变 w₀ 和 σ_g，可以连续地从完全相干过渡到完全不相干
传播规律已知	GSM 光束通过 ABCD 光学系统的传输有闭合表达式

2.6 本章知识体系

下面这张图，把本章的核心概念串起来了：

从图中可以看到，我们从“光场是随机过程”出发，先解决了平稳性和各态历经性这两个前提问题，然后分别建立了一阶和二阶统计描述。最后，所有这些概念汇聚到 GSM 光束——一个兼具物理意义和数学便利性的标准模型。