第二章 定理数学推导（一）：从惠更斯-菲涅尔原理出发，推导互相干函数的传播
各位，咱们今天要啃一块硬骨头——从惠更斯-菲涅尔原理出发，推导互相干函数的传播规律。说实话，这个推导我当年学的时候也绕了好一阵子。但你别怕，咱们一步步拆开来看，你会发现它其实挺顺的。
2.1 惠更斯-菲涅尔原理的数学表述
先回忆一下基础。惠更斯-菲涅尔原理说了啥？说白了就是：波前上的每一点都可以看作一个新的次级波源，这些次级波在空间某点叠加，就形成了该点的光场。
数学上怎么写？对于一个单色光场，在自由空间中的传播可以表示为：
U(P) = (1/jλ) ∮ U(Q) · [exp(jkr) / r] · cosθ · dS这里：
- U(P) — 观察点P的光场
- U(Q) — 波前上Q点的光场
- r — Q到P的距离
- k = 2π/λ — 波数
- cosθ — 倾斜因子
- dS — Q点处的面积元
2.2 互相干函数的定义
好，现在咱们要处理的是部分相干光。完全相干光只是理想情况，实际光源总是有一定宽度的。那怎么描述两个空间点之间的光场关联性呢？
互相干函数Γ就是干这个的。它的定义是：
Γ(P₁, P₂, τ) = ⟨U(P₁, t+τ) · U*(P₂, t)⟩其中尖括号表示时间平均，星号表示复共轭。这个量刻画了P₁点在t+τ时刻的光场与P₂点在t时刻的光场之间的相关性。
你可能会问：为什么要关心这个？嗯，我举个实际例子。有一次我在调试一个天文干涉仪，两个望远镜的光路长度差没调好，条纹对比度掉得一塌糊涂。当时就是靠计算互相干函数，才找到了最佳光程差补偿量。
2.3 从惠更斯-菲涅尔到互相干函数的传播
现在进入正题。假设我们在一个平面（比如光源平面）上已知互相干函数Γ(Q₁, Q₂, τ)，想知道它在另一个平面（比如观察平面）上的表现Γ(P₁, P₂, τ)。
推导思路其实很直接：
- 用惠更斯-菲涅尔原理写出U(P₁, t)和U(P₂, t+τ)的表达式
- 代入互相干函数的定义
- 交换积分和求平均的顺序
- 利用光源平面的互相干函数进行化简
具体写出来是这样的：
Γ(P₁, P₂, τ) = ⟨U(P₁, t+τ) · U*(P₂, t)⟩
= ⟨[∬ U(Q₁, t+τ - r₁/c) · K₁ · dS₁] · [∬ U*(Q₂, t - r₂/c) · K₂* · dS₂]⟩
= ∬∬ ⟨U(Q₁, t+τ - r₁/c) · U*(Q₂, t - r₂/c)⟩ · K₁ · K₂* · dS₁ · dS₂
= ∬∬ Γ(Q₁, Q₂, τ - (r₁ - r₂)/c) · K₁ · K₂* · dS₁ · dS₂其中K₁和K₂是惠更斯-菲涅尔积分中的核函数：
K₁ = (1/jλ) · [exp(jkr₁) / r₁] · cosθ₁
K₂ = (1/jλ) · [exp(jkr₂) / r₂] · cosθ₂2.4 这个公式到底在说什么？
咱们别光看数学，得理解它的物理含义。我画了一张图帮你理清思路：
2.5 一个重要的简化：准单色光近似
在实际工程中，我们很少处理全频谱的互相干函数。大多数情况下，光源的带宽Δν远小于中心频率ν₀。这时候可以用准单色近似：
Γ(P₁, P₂, τ) ≈ exp(j2πν₀τ) · J(P₁, P₂)其中J(P₁, P₂) = Γ(P₁, P₂, 0)就是互强度（mutual intensity），它不依赖于时间延迟τ。
这个近似有多重要？我跟你讲，我参与的一个激光照明系统项目，光源带宽只有0.1nm，用准单色近似算出来的结果和实验吻合得非常好。但如果光源是LED（带宽几十纳米），这个近似就不太靠谱了。
| 光源类型 | 典型带宽 | 准单色近似适用性 |
|---|---|---|
| 单模激光 | < 0.01 nm | ✅ 完全适用 |
| 多模激光 | 0.1 - 1 nm | ✅ 通常适用 |
| LED | 20 - 100 nm | ⚠ 需谨慎 |
| 白光 | ~300 nm | ❌ 不适用 |
2.6 互强度的传播公式
在准单色近似下，互相干函数的传播简化为互强度的传播：
J(P₁, P₂) = ∬∬ J(Q₁, Q₂) · [exp(jk(r₁ - r₂)) / (λ² r₁ r₂)] · cosθ₁ · cosθ₂ · dS₁ · dS₂这个公式比之前那个少了一个时间延迟维度，计算量小了很多。但注意，它仍然是四重积分——两个点在光源平面，两个点在观察平面。
你想想看，如果光源是非相干的（比如热光源），那J(Q₁, Q₂)只有在Q₁=Q₂时才非零。这时候四重积分就退化为二重积分：
J(P₁, P₂) = ∬ I(Q) · [exp(jk(r₁ - r₂)) / (λ² r₁ r₂)] · cosθ₁ · cosθ₂ · dS其中I(Q)是光源的强度分布。这个简化在实际中非常有用——大多数自然光源和人工热光源都可以近似为非相干的。
2.7 推导中的常见陷阱
我总结几个推导时容易出错的地方：
- 时间延迟别搞混： τ是P₁和P₂之间的时间差，不是传播时间。传播时间已经包含在r/c项里了。
- 共轭符号的位置： 第二个场取复共轭，这个符号在推导中会传递到核函数上，别忘了给K₂也加星号。
- 积分顺序： 先对时间求平均，再对空间积分。反过来会得到完全不同的结果。
- 倾斜因子的处理： 在傍轴近似下cosθ≈1，但非傍轴系统里必须保留。