第4章 部分相干光场的建模：从GSM到贝塞尔-谢尔模型
前面我们聊了互强度函数的基本概念，也讲了怎么用数学工具描述它。但说实话，真正做工程的时候，你不可能每次都从第一性原理去推导。我们需要的是——现成的、好用的、物理上合理的模型。
这一章，我就带你看看最常用的几个部分相干光场模型。我个人做光学仿真时，80%的场景都用它们来搞定。
4.1 为什么要建模？
你想想看，真实的光源千奇百怪。激光器、LED、太阳光、荧光……每个的相干性都不一样。如果每次都要从头测量互强度函数，那项目就别做了。
建模的目的很简单：
- 用少量参数描述复杂光场——比如用一个相干长度搞定
- 方便解析计算——很多模型有闭合形式的传播公式
- 实验可标定——参数可以通过简单测量得到
核心思想：部分相干光场的建模，本质上是找一个数学上漂亮、物理上合理的互强度函数形式。它要满足非负定性条件，还要能描述实际光源的相干性退化。
4.2 高斯-谢尔模型（GSM）
GSM 是部分相干光场里最经典的模型，没有之一。我在做自由空间光通信仿真时，第一反应就是它。
4.2.1 数学定义
GSM 的互强度函数长这样：
J(x₁, x₂) = √[I(x₁) I(x₂)] · μ(x₁ - x₂)
其中：
I(x) = I₀ · exp(-2x²/w₀²) —— 高斯强度分布
μ(Δx) = exp(-Δx²/(2σ_g²)) —— 高斯相干度
Δx = x₁ - x₂说白了，GSM 就是把强度分布和相干性分布都假设成高斯函数。这两个高斯是独立的，你可以分别调它们的宽度。
| 参数 | 符号 | 物理含义 | 典型值（我常用的） |
|---|---|---|---|
| 束腰半径 | w₀ | 光强下降到1/e²处的半径 | 0.5 ~ 5 mm |
| 相干长度 | σ_g | 相干度下降到1/e时的空间间隔 | 0.1 ~ 10 mm |
| 全局相干参数 | β = w₀/σ_g | 衡量光束的整体相干性 | β < 1 部分相干 |
我的经验：β 这个参数特别有用。β → 0 时接近完全非相干，β → ∞ 时退化为完全相干高斯光束。做系统设计时，我一般先定 β，再反推 w₀ 和 σ_g。
4.2.2 GSM 的传播特性
GSM 最漂亮的地方在于——它在自由空间传播后，仍然保持高斯-谢尔形式。只是 w₀ 和 σ_g 会随着传播距离 z 变化。
我记得有一次做长距离传输仿真，一开始担心模型会变得很复杂。结果发现传播后的互强度函数还是高斯形式，只是参数变了。这让我省了不少事。
传播后的参数演化（一维情况）：
w(z) = w₀ · √[1 + (z/z_R)²]
σ_g(z) = σ_g · √[1 + (z/z_R)²]
其中 z_R = π w₀² / λ 是瑞利距离嗯，这里要注意：w(z) 和 σ_g(z) 的演化比例是一样的。这意味着 β = w₀/σ_g 在传播过程中保持不变。这个性质在实际工程中非常有用。
4.3 贝塞尔-谢尔模型（BSM）
GSM 虽好，但不是万能的。有些场景下，你需要光束有无衍射特性——比如在精密对准、光学捕获中。这时候就该 BSM 出场了。
4.3.1 数学定义
BSM 的互强度函数是：
J(r₁, r₂) = I₀ · J₀(α|r₁ - r₂|) · exp(-|r₁ - r₂|²/(2σ_b²))
其中：
J₀(·) 是零阶贝塞尔函数
α 是横向波数，控制贝塞尔振荡频率
σ_b 是相干包络宽度你仔细看，BSM 其实是贝塞尔函数 × 高斯包络的组合。贝塞尔函数提供了无衍射的核，高斯包络保证了物理可实现性。
| 特性 | GSM | BSM |
|---|---|---|
| 强度分布 | 高斯型 | 近似贝塞尔型 |
| 相干度振荡 | 单调衰减 | 有旁瓣振荡 |
| 传播特性 | 高斯束腰扩散 | 无衍射核心 |
| 适用场景 | 常规激光、LED | 精密对准、光镊 |
避坑指南：我曾经在做一个光学捕获项目时，直接套用 GSM 模型，结果发现捕获力不够。后来换成 BSM 模型，才把贝塞尔核心的“自修复”特性模拟出来。选模型时一定要想清楚你的物理场景。
4.4 部分相干光束的通用数学表达
GSM 和 BSM 都是特例。更一般地，部分相干光束的互强度函数可以写成：
J(r₁, r₂) = √[I(r₁) I(r₂)] · μ(r₁ - r₂)
其中 μ(Δr) 是复相干度，必须满足：
1. μ(0) = 1
2. |μ(Δr)| ≤ 1
3. μ(Δr) 的傅里叶变换非负第三条（非负定性）是硬约束。不是随便找个函数就能当相干度的。我刚开始做研究时，就踩过这个坑——自己构造了一个“看起来很合理”的相干度函数，结果算出来的光强分布是负的……
4.4.1 常见的相干度函数形式
- 高斯型：μ(Δr) = exp(-Δr²/(2σ²)) —— GSM 用的，最常用
- 贝塞尔型：μ(Δr) = J₀(α|Δr|) —— BSM 用的，有无衍射特性
- sinc 型：μ(Δr) = sinc(Δr/σ) —— 对应矩形光阑产生的相干度
- 指数型：μ(Δr) = exp(-|Δr|/σ) —— 用于描述某些热光源
我的建议：做工程时，优先用高斯型。它数学简单、传播解析、参数少。除非你的物理场景明确需要贝塞尔或 sinc 型，否则别给自己找麻烦。
4.5 本章知识体系
下面这张图是我自己总结的，把本章的核心逻辑串起来了：
4.6 小结与工程建议
这一章我们聊了三个核心内容：
- GSM 模型——最经典、最常用，强度分布和相干度都是高斯型
- BSM 模型——贝塞尔核 + 高斯包络，适合无衍射场景
- 通用表达——J = √(I₁I₂)·μ，μ 必须满足非负定性
工程口诀：GSM 打天下，BSM 做精尖。参数先定 β，传播不用怕。模型选不对，仿真两行泪。
我个人做项目时，一般先用 GSM 做快速原型验证。如果发现性能瓶颈在相干性上，再考虑换 BSM 或其他模型。别一上来就搞复杂的，容易把自己绕进去。