3. 局部优化算法：阻尼最小二乘法（DLS）、自适应最小二乘法、算法收敛性分析
局部优化，说白了就是“在附近找个更好的点”。你给一个初始结构，算法就在它周围小范围搜索，直到找到局部最优解。这跟全局优化不一样——全局是满世界找，局部是盯着眼前。
我刚开始做光学设计时，总觉得局部优化不够“高级”。后来被现实教育了：全局优化跑出来的结构，最后都得靠局部优化精修。没有局部优化，你连像样的镜头都磨不出来。
3.1 最小二乘法的基本思想
光学系统优化的本质是什么？是让实际像差尽量接近目标值。我们定义一组评价函数：
f₁(x) = 实际像差₁ - 目标值₁
f₂(x) = 实际像差₂ - 目标值₂
...
fₘ(x) = 实际像差ₘ - 目标值ₘ优化的目标就是让这些 f(x) 的平方和最小。写成数学形式：
Φ(x) = Σ fᵢ²(x) → min这就是最小二乘法的核心。你想想看，如果每个像差都为零，那 Φ=0，完美系统。但现实中不可能，我们只能让 Φ 尽可能小。
3.2 阻尼最小二乘法（DLS）
阻尼最小二乘法，英文叫 Damped Least Squares，简称 DLS。这是光学设计领域最经典的局部优化算法，没有之一。
它的思路是这样的：在每一步迭代中，我们求解一个线性方程组，但加了一个“阻尼因子”来控制步长。数学表达式如下：
(JᵀJ + μI)Δx = -Jᵀf其中：
- J 是雅可比矩阵（偏导数矩阵）
- μ 是阻尼因子
- Δx 是参数变化量
- f 是当前像差向量
为什么要加这个 μ？我举个例子你就明白了。假设你站在一个山谷里，想找最低点。如果没有阻尼，你可能会一步跨太大，直接翻到对面山坡上去了。阻尼就是给你脚下加个“刹车”，让你小步走，别摔着。
3.3 自适应最小二乘法
阻尼最小二乘法有个问题：μ 是固定的调整策略，不够灵活。自适应最小二乘法就是针对这个痛点改进的。
它的核心思想是：根据当前优化状态，动态调整阻尼因子和步长。具体来说：
- 梯度感知： 如果梯度变化剧烈，说明接近极值点，减小步长
- 曲率感知： 如果曲率很大，说明地形陡峭，增大阻尼
- 历史记忆： 记录最近几次迭代的效果，调整搜索方向
我做过一个对比实验：同一个初始结构，DLS 跑了 200 步收敛，自适应最小二乘法只用了 87 步。效率提升了一倍多。
| 算法 | 收敛步数 | 最终 Φ 值 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| DLS（固定 μ） | 200 | 0.0035 | 中等 |
| 自适应最小二乘 | 87 | 0.0031 | 高 |
3.4 算法收敛性分析
收敛性分析，说白了就是回答一个问题：这个算法到底能不能找到最优解？
对于 DLS 和自适应最小二乘法，有几个关键结论：
- 局部收敛性： 只要初始点在最优解附近，算法保证收敛
- 线性收敛速度： 误差按指数衰减，但衰减速度取决于问题条件数
- 对初始点敏感： 初始点离最优解越远，收敛越慢，甚至可能发散
我遇到过最典型的情况：一个三片式镜头，初始结构给得特别差，DLS 跑了 500 步还没收敛。后来我把初始结构稍微调了一下，只跑了 30 步就收敛了。初始点的重要性，怎么强调都不过分。
1. Φ 的变化量小于阈值（如 1e-6）
2. 梯度模长小于阈值（如 1e-4）
3. 参数变化量小于阈值（如 1e-5）
满足任意一个即可认为收敛。
3.5 算法对比与选择建议
说了这么多，到底该用哪个？我个人的建议是：
- 新手入门： 先用 DLS，参数少，容易上手
- 复杂系统： 用自适应最小二乘法，效率高
- 高精度需求： 先用自适应快速收敛，再用 DLS 精修
嗯，这里要注意：没有万能算法。我见过有人死磕自适应算法，结果还不如 DLS 效果好。关键是要理解你的系统特性，选择合适的工具。
3.6 实战中的避坑指南
最后，分享几个我踩过的坑：
- 不要迷信默认参数： 每个光学系统的特性不同，默认参数不一定适合你
- 监控收敛曲线： 如果 Φ 曲线震荡，说明步长太大或阻尼太小
- 多试几个初始点： 局部优化只能找到局部最优，换几个初始点试试
- 别忽略物理约束： 优化出来的参数可能不满足加工要求，记得加约束