4. 局部优化算法：阻尼最小二乘法、爬山法、共轭梯度法

局部优化，说白了就是在你已有的镜头结构上“微调”。你有一个初始设计，像差还有点大，需要让评价函数往下降。这时候，局部优化算法就上场了。

我刚开始做镜头设计时，总觉得算法是黑盒子，点一下优化按钮就完事。后来吃过几次亏才明白——选不对算法，优化就是在原地打转。今天咱们就把三种最常用的局部优化算法掰开揉碎讲清楚。

4.1 阻尼最小二乘法（DLS）

这是光学设计软件里最主力的算法。你想想看，优化本质上是在解一个超定方程组——变量比方程多，没有精确解，只能找“误差平方和最小”的那个解。

最小二乘法的思路很直接：把评价函数对变量求偏导，构造一个线性方程组，然后求解。但问题来了——如果步长太大，直接越过谷底；步长太小，又跑不动。

阻尼项就是干这个用的。它给步长加了一个“刹车”，防止优化过程震荡发散。

(AᵀA + μI)Δx = -Aᵀf

我在项目中遇到过这样一个案例：一个手机镜头，初始结构 MTF 只有 0.3。直接用无阻尼的最小二乘法，优化到第 5 步就发散了，评价函数直接飞上天。换成阻尼最小二乘法，把 μ 初始值设成 0.1，每步迭代后检查评价函数——如果下降就减小 μ，如果上升就增大 μ。最后稳稳地收敛到了 MTF 0.6。

4.2 爬山法

这个名字挺形象——你站在一个山坡上，想走到最低点，每次只朝下降最快的方向迈一步。说白了就是最速下降法。

优点很明显：实现简单，每一步只需要计算梯度方向，内存占用小。对于变量少（比如 5~10 个）的简单镜头，它跑得挺快。

缺点也很致命：收敛慢，尤其到了谷底附近，它会“之”字形震荡，半天落不下去。我见过一个投影镜头，用爬山法优化了 300 步还没收敛，换成 DLS 后 40 步就搞定了。

不过，爬山法有一个特殊用途——全局探索的“扰动”阶段。我曾经在做一个变焦镜头时，先用全局搜索找到一个不错的初始点，然后用爬山法快速下降几步，看看周围有没有更低的谷。说白了，它更适合做“侦察兵”，不适合做“主力部队”。

4.3 共轭梯度法

这个算法是爬山法的“升级版”。它解决了最速下降法“之”字形震荡的问题。

核心思想：每次搜索方向不再是简单的负梯度方向，而是把当前梯度方向与上一次搜索方向做一个线性组合。这样就能保证每一步都朝着真正有效的方向走，不会来回折返。

公式长这样：

dₖ = -gₖ + βₖ · dₖ₋₁

其中 d 是搜索方向，g 是梯度，β 是组合系数。β 的计算方式有好几种，最常用的是 Fletcher-Reeves 公式和 Polak-Ribière 公式。

我记得有一次做一个车载镜头，变量有 20 多个，但电脑内存只有 8GB。DLS 需要存储 20×20 的矩阵，算起来内存吃紧。换成共轭梯度法，内存占用只有 DLS 的十分之一，收敛速度虽然慢一点，但 80 步也收敛到了可接受的水平。

4.4 三种算法的关系与流程

这三种算法不是互斥的。实际项目中，我经常把它们组合使用。下面这张图展示了它们之间的关系和典型使用流程：

嗯，这里要注意——不要死磕一种算法。我个人的习惯是：先用爬山法跑 20 步，看看评价函数下降趋势。如果下降快，继续用；如果开始震荡了，马上切到共轭梯度法或者 DLS。

4.5 避坑指南

最后分享几个我踩过的坑：

• 阻尼因子设成固定值：我曾经在一个安防镜头项目里把 μ 固定成 0.01，结果优化到一半评价函数开始震荡。后来改成自适应调整，问题就解决了。
• 变量范围设得太宽：曲率半径从 -100 到 100，空气间隔从 0 到 50——这种设置会让算法在无效区域浪费大量步数。我建议初始范围控制在 ±20% 以内。
• 忽略边界约束：DLS 和共轭梯度法本身不带边界处理。如果你不手动加罚函数，优化出来的结果可能曲率半径是负的、空气间隔是负的——这种结构根本没法加工。
• 收敛判据设得太松：评价函数变化小于 1e-6 就停止？对于手机镜头这种高精度要求，这个判据太松了。我一般设到 1e-8 甚至 1e-10。