2. 夫琅禾费衍射：单缝与圆孔的夫琅禾费衍射图样，艾里斑的形成与数学描述

好，我们接着聊衍射。上一章我们讲了瑞利判据的感性认识，这一章得把基础打牢——夫琅禾费衍射。说白了，就是平行光通过一个孔径后，在远处屏幕上形成的图案。你想想看，这其实就是我们光学系统里最常见的场景：目标物在无穷远，光线平行入射。

2.1 单缝夫琅禾费衍射

先从最简单的单缝开始。一个宽度为 a 的狭缝，被平行光垂直照射，在透镜后焦面上观察。我刚开始学的时候，总觉得公式很抽象，后来自己搭了个光路，用 He-Ne 激光照一个可调狭缝，亲眼看到条纹变化，才真正理解。

光强分布公式是这样的：

I(θ) = I₀ · [sin(β)/β]²
其中 β = (π a sinθ) / λ

这个 sinβ/β 函数，我们叫它 sinc 函数。它的形状决定了条纹的分布：

• 中央主极大：在 θ = 0 处，光强最强，宽度是其他条纹的两倍
• 暗纹位置：当 sinβ = 0 且 β ≠ 0 时，即 a sinθ = mλ (m = ±1, ±2, ...)
• 次极大：相邻暗纹之间，光强逐渐衰减，越往外越弱

我记得有一次做实验，狭缝调得太窄，结果屏幕上只剩一片模糊的光晕，条纹全看不清楚。后来才意识到，缝宽和波长的比值决定了你能看到几条条纹。嗯，这里要注意：当 a 接近 λ 时，衍射角变得很大，近似于均匀照明，单缝就失去了“缝”的意义。

2.2 圆孔夫琅禾费衍射

实际光学系统中，透镜、光阑大多是圆形的。所以圆孔衍射才是我们真正关心的。你想想看，相机镜头、显微镜物镜、望远镜，哪个不是圆的？

圆孔衍射的光强分布比单缝复杂一些，因为它涉及贝塞尔函数。公式长这样：

I(θ) = I₀ · [2J₁(ka sinθ) / (ka sinθ)]²
其中 k = 2π/λ，a 为圆孔半径

J₁ 是一阶第一类贝塞尔函数。别被它吓到，我们不需要手算贝塞尔函数，记住几个关键点就行：

• 中央亮斑：叫艾里斑（Airy disk），集中了约 84% 的能量
• 第一暗环：出现在 ka sinθ = 3.832 处，即 sinθ ≈ 1.22 λ / D（D = 2a 为圆孔直径）
• 次级亮环：强度迅速衰减，第一亮环的峰值只有中央的 1.75%

2.3 艾里斑的形成与数学描述

艾里斑这个名字，来自英国天文学家乔治·比德尔·艾里（George Biddell Airy）。他在 1835 年首次推导了圆孔衍射的完整数学形式。说实话，我第一次看到艾里斑的照片时，觉得它像极了水面上投石子的涟漪——中央一个亮斑，外面一圈圈明暗相间的环。

艾里斑的数学描述，核心就是那个贝塞尔函数比值。我给大家整理了一个对照表，方便对比单缝和圆孔：

参数	单缝（宽度 a）	圆孔（直径 D）
光强分布函数	sinc²(β)	[2J₁(x)/x]²
中央亮斑半角宽度	λ / a	1.22 λ / D
第一暗纹位置	sinθ = λ / a	sinθ = 1.22 λ / D
中央能量占比	~90%	~84%
次级极大强度	~4.7%（第一级）	~1.75%（第一环）

从这个表你能看出，圆孔的衍射图案比单缝更“紧凑”，能量更集中在中央。这也是为什么光学系统的分辨率极限由艾里斑的大小决定——两个点光源的像，就是两个艾里斑的叠加。

2.4 知识结构图

下面这张图梳理了本章的核心逻辑，从衍射类型到艾里斑的应用：

2.5 实践中的感悟

讲到这里，我想分享一个实际案例。几年前我在调试一套激光测距系统，接收端用的是 50mm 直径的透镜。按照理论计算，艾里斑半径大约是 1.22 × 0.85μm / 50mm ≈ 20.7 μrad。但实际测试时，光斑比理论值大了将近一倍。

排查了很久，最后发现问题出在透镜的安装应力上——镜片被压得太紧，产生了像散，等效于缩小了有效孔径。你看，理论上的艾里斑是理想情况，实际工程中还要考虑装配应力、温度变形、镜片加工误差等因素。