2. 渐晕的数学模型：余弦四次方定律推导

聊渐晕，绕不开一个核心公式——余弦四次方定律。很多教材直接甩给你一个 E = E₀·cos⁴θ，然后说“这就是像面照度分布”。但说实话，我第一次看到这个公式时，心里想的是：凭什么四次方？为什么不是三次方、五次方？

今天我就带你亲手推一遍。推完之后你会发现，这玩意儿其实挺直观的。

2.1 从点光源到像面照度

我们先从最基础的物理场景说起。假设有一个微小面元 dAₛ 向半球空间发光，光亮度为 L。在距离 r 处，有一个接收面 dAᵢ。

根据光度学基本定义，dAᵢ 接收到的光通量为：

dΦ = L · dAₛ · cosα · dΩ

其中 α 是发光面法线与出射方向的夹角，dΩ 是接收面对发光面所张的立体角。

立体角 dΩ 又可以写成：

dΩ = dAᵢ · cosβ / r²

β 是接收面法线与入射方向的夹角。代入后得到：

dΦ = L · dAₛ · cosα · dAᵢ · cosβ / r²

这个式子，是所有后续推导的起点。我建议你把它记牢，后面很多地方都会用到。

2.2 光学系统中的“四个余弦”

现在我们把场景放到一个实际的光学系统里。假设系统是理想成像的，物面是朗伯体（即各方向光亮度相同）。

从物点发出的光线，经过入瞳、出瞳，最终到达像面。在这个过程中，余弦因子出现了四次：

序号	位置	余弦因子	物理含义
1	物面发光	cosθ₁	物面法线与主光线夹角
2	入瞳接收	cosθ₂	入瞳面法线与入射光线夹角
3	出瞳出射	cosθ₃	出瞳面法线与出射光线夹角
4	像面接收	cosθ₄	像面法线与入射光线夹角

在轴对称系统中，如果物面、入瞳、出瞳、像面互相平行，且系统满足正弦条件，那么这四个角度都等于视场角 θ。于是：

E(θ) = E₀ · cosθ · cosθ · cosθ · cosθ = E₀ · cos⁴θ

嗯，四次方就是这么来的。说白了，就是四个环节各贡献了一个余弦衰减。

2.3 渐晕系数与视场角的关系

实际系统中，渐晕会让情况变得更复杂。我们引入渐晕系数 V(θ) 来描述这种衰减：

V(θ) = 实际通过的光通量 / 无渐晕时应通过的光通量

于是实际像面照度变为：

E(θ) = E₀ · V(θ) · cos⁴θ

V(θ) 的取值在 0 到 1 之间。当 V(θ) = 1 时，系统无渐晕；V(θ) = 0 时，该视场完全被遮挡。

我做过一个投影物镜的设计，当时客户要求边缘照度不低于中心照度的 60%。按 cos⁴θ 算，半视场角 30° 时照度只剩 56%，已经不够了。后来我通过引入约 15% 的渐晕（V(θ) ≈ 0.85），把边缘照度拉到了 48%，再配合光阑优化才勉强达标。嗯，这就是实战中的妥协。

2.4 像面照度分布公式

综合以上讨论，完整的像面照度分布公式为：

E(x, y) = E₀ · V(x, y) · cos⁴[arctan(√(x² + y²) / f')]

其中：

• E₀ —— 轴上点照度
• V(x, y) —— 渐晕系数分布函数
• f' —— 系统焦距
• x, y —— 像面坐标

对于小视场系统，cos⁴θ ≈ 1 - 2θ²，照度下降较慢。但对于广角系统，比如视场角 60° 时，cos⁴60° = 0.0625，中心与边缘照度差超过 16 倍。这就是为什么广角镜头边缘那么暗。

2.5 知识结构图

下面这张图帮你梳理本章的核心逻辑链条：

2.6 实战中的几个关键点

推导完了，说几个我踩过的坑：

1. 不要迷信 cos⁴θ。它只适用于理想系统、小视场、无渐晕的情况。实际镜头几乎都有渐晕，一定要实测或追迹。
2. 注意坐标定义。θ 是主光线与光轴的夹角，不是半视场角。有些资料混用，容易算错。
3. V(θ) 不是常数。它随视场变化，通常边缘渐晕更大。设计时要逐视场评估。
4. 广角系统要特别小心。cos⁴θ 在 60° 时只有 6.25%，即使 V(θ)=1 也救不回来。这时候需要考虑像方远心光路或光阑前移等技巧。

好了，余弦四次方定律的推导就到这里。记住那个核心公式，后面讲渐晕补偿和像面照度均匀化设计时，我们还会反复用到它。