3. 单个折射球面成像：物像位置公式、垂轴放大率、轴向放大率、拉格朗日不变量

单个折射球面，是几何光学里最基础、也最核心的成像单元。你想想看，不管是简单的单片透镜，还是复杂的变焦镜头，本质上都是一堆球面在干活。搞懂了这一个面，后面的系统分析就顺了。

我个人习惯，每次带新人做光学设计，都会先让他们把单个球面的公式推导一遍。不是为了考试，是为了建立一种直觉——光线到底是怎么被“掰弯”的。

3.1 物像位置公式：从实际光线到近轴近似

先看一个球面，曲率半径为 \( r \)，两侧折射率分别为 \( n \) 和 \( n' \)。物点 \( A \) 在光轴上，发出光线经球面折射后交于 \( A' \)。

在近轴区域（光线与光轴夹角很小），我们可以用 阿贝不变式 来描述物像关系：

其中：

• \( l \)：物距（从球面顶点到物点，光线从左到右为正）
• \( l' \)：像距（从球面顶点到像点）
• \( r \)：球面曲率半径（球心在右为正）

这个公式看着简单，但我在项目中遇到过不少坑。有一次做激光聚焦系统，同事直接用物距代公式，结果像点位置差了 0.5 mm。后来一查，他把符号规则搞反了——近轴公式的符号约定必须统一，否则算出来就是错的。

3.2 垂轴放大率：像到底放大了多少？

垂轴放大率 \( \beta \)，说的是像的高度和物的高度之比。说白了，就是像被“撑大”了多少。

公式很简单：

这里 \( y \) 是物高，\( y' \) 是像高。注意，\( \beta \) 可以是负的——负号表示像是倒立的。

我经常跟团队说，看 \( \beta \) 的绝对值就知道系统有没有放大能力，看符号就知道像的正倒。比如：

• \( |\beta| > 1 \)：像被放大了
• \( |\beta| < 1 \)：像被缩小了
• \( \beta < 0 \)：像是倒立的（实物成实像时常见）
• \( \beta > 0 \)：像是正立的（虚物或虚像时出现）

3.3 轴向放大率：沿着光轴方向的变化

轴向放大率 \( \alpha \)，描述的是物点沿光轴移动一小段距离 \( dl \) 时，像点移动的距离 \( dl' \) 之比。

公式推导起来不复杂，直接给结果：

嗯，这里要注意：轴向放大率 不等于 垂轴放大率。而且 \( \alpha \) 永远是正的——也就是说，物点往右移，像点也往右移，方向一致。

为什么会这样？你想想看，光线经过球面折射，物像之间的映射是连续的。物点动一点，像点跟着动，但动的幅度不一样。

我记得有一次做内窥镜物镜设计，需要保证轴向放大率在整个景深范围内变化不大。结果发现，\( \beta \) 稍微一变，\( \alpha \) 就平方倍地变。后来只能通过控制物距范围来限制像面漂移。

3.4 拉格朗日不变量：贯穿整个系统的守恒量

拉格朗日不变量 \( J \)，是近轴光学里最优雅的一个概念。它说的是：在同一个光学系统里，不管光线经过多少个面，下面这个量始终不变：

其中 \( u \) 是物方孔径角（近轴近似下，\( u \approx \tan u \)），\( y \) 是物高。像方同理。

这个不变量有什么用？我举两个实际场景：

1. 判断系统能否传递足够的光能量：\( J \) 越大，系统能传递的信息量越大。做高分辨率镜头时，我会先算一下 \( J \) 够不够大。
2. 验证设计的一致性：如果你算完整个系统，发现第一个面和最后一个面的 \( J \) 不一样，那一定是某个地方算错了。

3.5 知识体系总览

下面这张图，把单个折射球面的几个核心概念串在了一起。你可以把它当作本章的“思维导图”：

3.6 几个容易踩的坑

最后，分享几个我踩过的坑，希望能帮你省点时间：

• 符号搞反：物距 \( l \) 和像距 \( l' \) 的符号规则，不同教材可能不一样。我建议统一用“光线从左到右为正”的约定，别混用。
• 近轴公式用在非近轴区：如果你用大孔径光束，或者物点离光轴很远，近轴公式会失效。这时候要用实际光线追迹。
• 忘记折射率：垂轴放大率公式里有 \( n \) 和 \( n' \)，不是简单的 \( l'/l \)。空气里 \( n=1 \) 时容易忽略，但到了玻璃内部就不一样了。

单个折射球面虽然简单，但它是整个几何光学的基石。把这些公式和概念吃透，后面学透镜、组合系统、像差分析，都会轻松很多。