2. 球面折射与反射：单个球面折射公式、单个球面反射公式、横向放大率与轴向放大率

各位工程师朋友，欢迎来到第二章。上一章我们聊了基本概念，这一章直接上硬菜——球面折射与反射。说实话，这是近轴光学里最核心的计算基础。我当年刚入行时，觉得这些公式不就是套一套吗？后来在项目里栽过跟头才明白，公式背后的物理图像比公式本身重要得多。

2.1 单个球面折射公式

先看折射。光线从一种介质进入另一种介质，在球面上发生偏折。这个过程的数学描述，就是单个球面折射公式。

公式长这样：

n' / l' - n / l = (n' - n) / r

其中：

• n、n' —— 物方和像方折射率
• l、l' —— 物距和像距（从球面顶点算起）
• r —— 球面曲率半径

符号规则要特别注意。我个人习惯用「光线行进方向为正」来定符号。物距 l 在球面左侧为负，右侧为正；曲率半径 r 的球心在右侧为正，左侧为负。这个规则一旦搞混，算出来的像距可能差十万八千里。

举个例子。一个玻璃球面（n'=1.5），曲率半径 r=100mm，放在空气中（n=1）。物距 l=-200mm。求像距。

代入公式：

1.5 / l' - 1 / (-200) = (1.5 - 1) / 100
1.5 / l' + 0.005 = 0.005
1.5 / l' = 0
l' → ∞

像在无穷远。这意味着从-200mm处发出的光，经过这个球面后变成平行光。嗯，这就是个简单的准直系统。

2.2 单个球面反射公式

反射比折射简单一些。光线在球面上反射，相当于折射率 n' = -n。为什么是负号？因为反射后光线反向传播，我们约定符号时把反向传播的折射率视为负值。

代入折射公式，得到反射公式：

1 / l' + 1 / l = 2 / r

这个公式和中学学的球面镜公式一模一样。但要注意，这里的 l 和 l' 符号规则和折射一致——光线方向为正。

凹面镜和凸面镜的区别，说白了就是 r 的正负。凹面镜 r 为正（球心在镜面前方），凸面镜 r 为负（球心在镜面后方）。

2.3 横向放大率与轴向放大率

放大率是光学系统的重要指标。横向放大率 β 描述像的大小相对于物的大小，轴向放大率 α 描述像的深度相对于物的深度。

横向放大率公式：

β = y' / y = (n * l') / (n' * l)

对于反射系统，n' = -n，所以 β = -l' / l。

β 为负表示像倒立，为正表示像正立。绝对值大于1表示放大，小于1表示缩小。

轴向放大率公式：

α = dl' / dl = (n * l'²) / (n' * l²)

这里有个有意思的关系：α = β² * (n' / n)。对于反射系统，α = -β²。

举个例子。一个物体高10mm，放在折射球面前 l=-300mm处，像距 l'=150mm，n=1，n'=1.5。求像高和像的轴向深度变化。

横向放大率：

β = (1 * 150) / (1.5 * (-300)) = -1/3

像高 y' = β * y = (-1/3) * 10 = -3.33mm。负号表示像倒立，高度3.33mm。

轴向放大率：

α = (1 * 150²) / (1.5 * (-300)²) = 22500 / 135000 = 1/6

如果物体沿轴向移动1mm，像只移动约0.167mm。这就是为什么在显微镜中调焦时，物镜移动一点点，像面移动很少——轴向放大率小于1。

2.4 知识结构图

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。你想想看，从折射到反射，再到放大率，其实是一条线下来的。

2.5 实战中的注意事项

讲完理论，聊聊实际中容易出问题的地方。

1. 符号规则一致性 —— 同一个系统里，折射和反射的符号规则必须统一。我见过有人折射用一套规则，反射用另一套，结果系统联算时全乱套。
2. 放大率符号的含义 —— β 为负表示像倒立，这在成像系统中是常态。但如果你做的是非成像系统（比如照明），倒立可能无所谓，你更关心绝对值。
3. 轴向放大率的实际意义 —— 在激光聚焦系统中，轴向放大率决定了焦深。α 越小，焦深越浅，对调焦精度要求越高。