2. 光学系统建模：表面、材料与坐标

好，我们正式开始搭建光学系统。你想想看，一个光学系统再怎么复杂，拆开来看无非就是三样东西：光线碰到什么面、穿过什么材料、以及这些面怎么摆。这一章我们就把这三大块讲透。

2.1 光学表面类型

表面是光线发生偏折的地方。我这些年做过的项目里，90% 的坑都出在表面定义上。咱们从最简单的说起。

2.1.1 球面

球面是最基础、最常用的表面。它的 sagitta（矢高）公式很简单：

z(r) = (r² / R) / (1 + sqrt(1 - (1+k) * r² / R²))

当 k=0 时，就是标准球面。R 是曲率半径，r 是径向坐标。

2.1.2 非球面

非球面就是在球面基础上加了高次项。我常用的偶次非球面公式：

z(r) = (r² / R) / (1 + sqrt(1 - (1+k) * r² / R²)) + A₂r² + A₄r⁴ + A₆r⁶ + ...

这里 k 是圆锥系数，A₂、A₄、A₆ 是高次项系数。

2.1.3 自由曲面

自由曲面是最近十年才真正用起来的。它没有对称轴，用 XY 多项式或 Zernike 多项式描述。我去年做的一个 AR 眼镜项目，就靠自由曲面把畸变从 15% 压到了 2%。

常用的 XY 多项式形式：

z(x,y) = Σ Cᵢⱼ xⁱ yʲ

说白了，自由曲面就是给你更多自由度去校正像差。但代价是加工和检测都贵很多。

表面类型	自由度	加工成本	典型应用
球面	1（R）	低	常规镜头、目镜
非球面	3-6（k + 高次项）	中	手机镜头、投影物镜
自由曲面	10+（多项式系数）	高	AR/VR、离轴系统

2.2 光学材料与色散模型

光穿过不同材料，速度会变，方向也会变。这就是折射。但问题来了——不同颜色的光，折射率不一样。这就是色散。

2.2.1 常用光学材料

我常用的玻璃牌号就那么几种：

• BK7：最通用的冕牌玻璃，可见光波段首选
• F2：火石玻璃，色散大，常用于消色差
• SF6：重火石玻璃，高折射率，用于短焦距
• CaF₂：氟化钙，紫外到红外都透，但贵

2.2.2 色散模型

折射率随波长变化，我们不能只用一个数。常用的模型有：

1. Sellmeier 方程（最常用）：
   n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ² - C₁) + B₂λ²/(λ² - C₂) + B₃λ²/(λ² - C₃)
2. Cauchy 方程（近似用）：
   n(λ) = A + B/λ² + C/λ⁴
3. Schott 公式（老牌号常用）

我记得有一次，供应商给的玻璃批次折射率偏了 0.001，结果整个镜头后焦跑了 0.3mm。从那以后，我每次都要确认材料实测数据，不只看标称值。

2.3 系统坐标与孔径定义

坐标系统一了，大家才能沟通。孔径定义错了，光线根本进不去。

2.3.1 坐标约定

我习惯用右手坐标系：

• Z 轴：光轴方向，从左到右
• Y 轴：垂直向上
• X 轴：水平指向纸面外

每个表面都有一个局部坐标系，原点在表面顶点。光线从物面出发，沿 Z 正方向传播。

2.3.2 孔径定义

孔径决定了有多少光线能通过系统。常用的定义方式：

孔径类型	定义方式	我常用的场景
入瞳直径	直接指定 EPD	定焦镜头
F 数	F/# = EFL / EPD	摄影镜头
NA	NA = n * sin(θ)	显微物镜、光纤耦合
浮动孔径	随视场变化	变焦系统

2.4 知识体系总览

下面这张图把本章的核心内容串起来了。你可以把它当作一个检查清单，每次建模前过一遍。

2.5 实战建议

说了这么多，最后给几条实在的建议：

• 先简单后复杂：球面能搞定就别上非球面，BK7 能搞定就别上特殊材料
• 留余量：孔径别卡太死，留 10-20% 的余量给装配误差
• 确认数据来源：玻璃库数据是标称值，实际批次可能有偏差
• 文档化：每个表面的定义、材料、坐标，写清楚。我吃过亏——三个月后回看自己的文件，完全想不起当时为什么选那个参数