几何光学基础：光线传播定律、成像公式与符号约定

做光路设计，说白了就是跟光线打交道。你得知道它怎么走、怎么拐弯、最后落在哪。这些事儿都绕不开几何光学。我刚入行那会儿，总觉得这些基础理论是书本上的东西，实战中慢慢来就行。结果有一次调试光斑，怎么算都对不上，最后发现是符号方向搞反了。嗯，从那以后我老实多了。

这一章咱们就扎进几何光学的三个核心板块：光线怎么传播、怎么描述它、怎么算成像。

2.1 光线传播的基本定律

光在均匀介质里走直线，这事大家初中就知道了。但光学设计的麻烦在于——光线会在不同介质的界面上拐弯。要描述这个过程，得靠三个基本定律。

2.1.1 直线传播定律

在均匀介质中，光沿直线传播。听着简单，但它是所有几何作图的根基。你画光路图时，所有光线都用直线表示，依据就是这个。

2.1.2 反射定律

光线遇到光滑界面时，反射角等于入射角。公式很简单：

θᵢ = θᵣ

其中 θᵢ 是入射角，θᵣ 是反射角。
两角均以法线为基准测量。

实际项目中，反射定律用得最多的场景是反射镜设计。我记得有次设计一个折反式准直系统，反射镜角度算错0.1°，结果光斑直接偏了3mm。所以说，反射定律虽然简单，但精度要求一点不低。

2.1.3 折射定律（斯涅尔定律）

光线从一种介质进入另一种介质时，会发生偏折。这是光学设计里最常用的定律之一：

n₁ · sin θ₁ = n₂ · sin θ₂

n₁、n₂：两种介质的折射率
θ₁：入射角
θ₂：折射角

我建议你在做任何涉及透镜或棱镜的设计时，先把这条公式写在手边。它不仅能帮你算偏折角，还能用来推导透镜的焦距、棱镜的色散等等。

2.1.4 费马原理（光程最短原理）

费马原理说：光沿着光程取极值的路径传播。翻译过来就是——光走的路，要么是最短的，要么是时间最省的。反射定律和折射定律都能从它推导出来。我很少直接拿费马原理去算东西，但它能帮你理解：为什么光线偏偏走那条路。

2.2 符号约定：统一描述的语言

做光学设计，最怕的就是符号混乱。同一套光路，你用正号、我用负号，到最后根本没法沟通。几何光学有一套标准的符号约定，我建议你从一开始就严格遵守。

符号	名称	约定规则	典型场景
s	物距	实物为正，虚物为负	透镜前方实物 → s > 0
s'	像距	实像为正，虚像为负	透镜后方实像 → s' > 0
f	焦距	凸透镜为正，凹透镜为负	平凸透镜 → f > 0
y	物高	光轴上方为正，下方为负	物体在光轴上方 → y > 0
y'	像高	光轴上方为正，下方为负	倒立实像 → y' < 0
u	物方孔径角	光轴转向光线，顺时针为正	光线向下倾斜 → u < 0
u'	像方孔径角	光轴转向光线，顺时针为正	光线向上倾斜 → u' > 0

我个人的习惯是：每个设计文件的开头，先用一行注释标清楚「光传播方向向右为正，物在左、像在右」。这样无论过多久回来改参数，都不会搞混。

2.3 成像公式：从理论到计算

有了传播定律，有了符号约定，接下来就能算成像了。这是几何光学最核心的计算工具。

2.3.1 高斯成像公式

这是薄透镜系统最基本的成像关系：

1/s' - 1/s = 1/f'

其中：
s' = 像距（像到透镜的距离）
s  = 物距（物到透镜的距离）
f' = 像方焦距

公式看着简单，但用起来有几个坑：

• 符号千万别搞反：物距、像距都要按2.2节的约定代入
• 单位统一：我一般全用毫米，省得换算出错
• 注意透镜方向：双凸透镜和平凸透镜的焦距算法略有区别

2.3.2 薄透镜公式（透镜制造者公式）

如果你需要自己设计透镜，这个公式能帮你算焦距：

1/f' = (n - 1) · (1/R₁ - 1/R₂)

n  ：透镜材料的折射率
R₁：第一面曲率半径
R₂：第二面曲率半径

举个例子，一个平凸透镜，n=1.5168（K9玻璃），R₁=100mm，R₂=∞（平面）：

1/f' = (1.5168 - 1) · (1/100 - 1/∞)
     = 0.5168 · 0.01
     = 0.005168

f' ≈ 193.5 mm

这个结果意味着：平行光入射后，会在透镜后方约193.5mm处会聚。我每次设计准直系统时，都会先用这个公式估算一遍透镜参数，再用软件仿真验证。

2.3.3 放大率公式

横向放大率（像高与物高之比）：

β = y' / y = s' / s

纵向放大率（像沿光轴方向的伸缩）：

α = (s')² / s²

这两个公式在扩束系统里特别常用。你要把光斑放大3倍，那横向放大率就得是3，然后反推物距和像距。

好了，以上是几何光学最基础的三个工具。下面这张图能把它们串起来：