📚 课程目录第2章麦克斯韦方程组与Yee网格离散

2. 麦克斯韦方程组与Yee网格离散

FDTD（Finite-Difference Time-Domain，时域有限差分）之所以能成为光子器件仿真的主力方法，核心在于它把麦克斯韦旋度方程直接搬到离散网格上，用“跳蛙式”时间步进一步步推进电磁场。理解这一节，关键不是背公式，而是搞清楚三件事：方程怎么离散、场量放在网格的什么位置、时间步长受什么限制。这三件事决定了后续所有仿真是否可信。

一、从麦克斯韦旋度方程到离散更新式

在无源、各向同性、非色散介质中，麦克斯韦旋度方程可写为：

∂H/∂t = -(1/μ) ∇×E
∂E/∂t =  (1/ε) ∇×H - (σ/ε) E

FDTD 的做法是对空间和时间都做中心差分。以一维情况为例，电场只有 Ez 分量、磁场只有 Hy 分量，方程退化为：

∂Ez/∂t = -(1/ε) ∂Hy/∂x
∂Hy/∂t = -(1/μ) ∂Ez/∂x

对时间用中心差分、对空间用中心差分，得到跳蛙格式：

Hy[i]^(n+1/2) = Hy[i]^(n-1/2) - (Δt/(μΔx))·(Ez[i+1]^n - Ez[i]^n)
Ez[i]^(n+1)   = Ez[i]^n       - (Δt/(εΔx))·(Hy[i]^(n+1/2) - Hy[i-1]^(n+1/2))

注意两个细节：磁场在 n±1/2 时刻更新，电场在整数 n 时刻更新，二者在时间上相差半个步长；空间上 Ez 与 Hy 也相差半个网格。这种“时间半步、空间半格”的交错，正是 Yee 网格的精髓，它让中心差分自然满足旋度方程的耦合关系，无需额外插值。

二、Yee 网格：电场与磁场的空间交错

三维 Yee 元胞中，每个电场分量位于所在棱的中点，每个磁场分量位于所在面的中心。以元胞边长 Δx、Δy、Δz 为例：

Ex 位于 (i+1/2, j, k)，沿 x 方向；
Ey 位于 (i, j+1/2, k)，沿 y 方向；
Ez 位于 (i, j, k+1/2)，沿 z 方向；
Hx 位于 (i, j+1/2, k+1/2)，沿 x 方向；
Hy 位于 (i+1/2, j, k+1/2)，沿 y 方向；
Hz 位于 (i+1/2, j+1/2, k)，沿 z 方向。

这种布局带来两个直接好处：一是每个 E 分量周围恰好有四个 H 分量构成环路，可直接计算旋度；二是 E 和 H 的更新互不重叠，可交替推进，天然适合显式时间步进。在光子器件中，这意味着波导、微腔、光栅等结构只需按材料分布设置 ε(i,j,k)，网格本身无需随结构变形。

三、时间步进格式与实现要点

实际编程时，通常按以下顺序组织主循环：

用当前 E 场更新所有 H 分量（H 推进半个时间步）；
施加磁场边界条件（如 PEC、PML）；
用更新后的 H 场更新所有 E 分量（E 推进一个整时间步）；
施加电场边界条件与激励源；
记录观测点场值，进入下一轮。

以二维 TM 模（Ez、Hx、Hy）为例，更新式可写为：

Hx[i,j] = Hx[i,j] - (dt/(mu*dy))*(Ez[i,j+1] - Ez[i,j])
Hy[i,j] = Hy[i,j] + (dt/(mu*dx))*(Ez[i+1,j] - Ez[i,j])
Ez[i,j] = Ez[i,j] + (dt/eps)*( (Hy[i,j]-Hy[i-1,j])/dx - (Hx[i,j]-Hx[i,j-1])/dy )

这里 dx、dy 为空间步长，dt 为时间步长，mu、eps 为材料参数。若存在电导率 σ，还需在 Ez 更新中加入衰减项 (1 - σdt/(2ε))/(1 + σdt/(2ε))。在光子器件中，金属、有损介质或增益介质都通过这一项体现。

四、数值稳定性条件：CFL 判据

显式 FDTD 的时间步长不能任意取大，否则数值解会指数发散。三维情况下必须满足 Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件：

dt ≤ 1 / (c · sqrt(1/dx² + 1/dy² + 1/dz²))

其中 c 为介质中最大光速。若网格均匀，dx=dy=dz=Δ，则简化为 dt ≤ Δ/(c√3)。二维时系数为 √2，一维时为 1。工程上通常取理论极限的 0.9～0.99 倍，例如 Δ=20 nm、真空波长 1.55 μm 时，c≈3×10⁸ m/s，三维均匀网格下 dt ≤ 20e-9/(3e8×1.732) ≈ 3.85×10⁻¹⁷ s，实际可取 dt ≈ 3.5×10⁻¹⁷ s。

常见误区：把 dt 取得过大会导致场值迅速发散；把 dt 取得过小则仿真时间成倍增加。若使用非均匀网格，必须按最小网格尺寸计算 CFL 上限。此外，PML 吸收层内若网格拉伸过大，也会引入不稳定，需控制相邻网格增长率。

五、网格色散与精度权衡

即使满足 CFL 条件，FDTD 仍存在数值色散：不同频率的波在网格中传播速度略有差异，导致脉冲展宽或相位误差。通常要求每波长至少 10～20 个网格点。以 1.55 μm 波长、硅波导有效折射率约 2.4 为例，介质中波长约 646 nm，若取 Δ=20 nm，则每波长约 32 个点，精度较好；若取 Δ=50 nm，则仅约 13 个点，色散误差明显增大。因此，在光子晶体、微环等对相位敏感的结构中，应优先加密网格，而不是盲目增大时间步长。

实践建议：先用粗网格试算，观察场分布是否合理、是否出现非物理振荡；再逐步加密并检查结果收敛性。若两次网格下透射谱峰值位置差异小于 1%，可认为网格已足够。时间步长则始终按 CFL 条件自动计算，不要手动放大。

总结来看，Yee 网格用空间交错换取二阶精度，跳蛙格式用时间交错换取显式推进，CFL 条件则划定了稳定边界。三者共同构成 FDTD 的骨架。后续无论是设置波导端口、PML 边界还是色散材料，都建立在这一离散框架之上。