3. 残余应力与变形的基本力学概念
增材制造中的残余应力与变形，本质上是材料在快速加热、熔化、凝固和冷却循环中产生的非均匀弹塑性响应。要准确描述这种响应，必须建立一套统一的力学语言：用应力应变张量描述一点的完整受力与变形状态，用主应力和不变量判断危险方向，用屈服准则判断材料是否进入塑性，用残余应力分类区分不同尺度的应力来源，最后用变形度量把位移场转化为可比较的工程指标。本节围绕这五个概念展开，并说明它们在增材制造分析中的实际用法。
一、应力应变张量与坐标约定
在连续介质力学中，一点的应力状态由二阶对称张量 σij 描述，共 9 个分量，因对称性独立分量为 6 个：3 个正应力 σxx、σyy、σzz 和 3 个剪应力 τxy、τyz、τzx。应变张量 εij 同样对称，正应变表示线元伸长或缩短，剪应变表示角度畸变。工程剪应变 γxy=2εxy，在有限元输出中常与张量剪应变混用，读取结果时必须确认软件约定。
增材制造分析中，坐标约定直接影响结果判读。本文统一采用：拉应力为正、压应力为负；基板平面为 XY 平面，Z 轴为沉积方向；热源移动方向为 X 轴正向。激光粉末床熔融（LPBF）成形时，熔池附近快速冷却产生收缩，若被周围较冷材料约束，则形成拉应力；而基板与成形件界面附近常出现压应力。符号约定一旦确定，全文和图示必须保持一致，否则后续主应力和屈服判断会整体反向。
二、主应力、不变量与莫尔圆
任意一点的应力张量都可以通过坐标旋转找到三个互相垂直的主方向，使剪应力为零，此时的正应力称为主应力 σ1≥σ2≥σ3。主应力是应力张量的特征值，满足特征方程：
σ³ - I₁σ² + I₂σ - I₃ = 0
I₁ = σxx + σyy + σzz
I₂ = σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx - τxy² - τyz² - τzx²
I₃ = det(σij)其中 I₁、I₂、I₃ 为应力不变量，与坐标系无关。I₁ 反映静水压力部分，对塑性屈服影响很小；真正驱动塑性变形的是偏应力，即从应力张量中减去平均应力 σm=I₁/3 后的部分。莫尔圆则把三维应力状态投影到二维平面，用三个圆的半径表示最大剪应力 τmax=(σ1-σ3)/2，是判断剪切破坏和滑移方向的直观工具。
在增材制造中，主应力方向往往随扫描路径和层间旋转而变化。例如 67° 层间旋转策略会使主应力方向逐层偏转，若只关注等效应力大小而忽略方向，就可能误判裂纹扩展路径。因此，后处理中应同时输出主应力大小和方向矢量。
三、屈服准则与等效应力
金属材料的塑性屈服通常采用 von Mises 准则，其等效应力为：
σ_vm = sqrt(0.5[(σ1-σ2)² + (σ2-σ3)² + (σ3-σ1)²])当 σvm 达到材料屈服强度 σy 时进入塑性。对于增材制造常用的 Ti-6Al-4V，室温屈服强度约 880 MPa；316L 不锈钢约 250 MPa；IN718 约 1030 MPa。这些数值随温度显著下降，因此在热-力耦合分析中必须使用温度相关屈服强度，而不能用室温常数。另一种常用准则是 Tresca 准则，以最大剪应力为判据，结果偏保守，适合快速估算。
需要强调的是，屈服准则判断的是“是否进入塑性”，而残余应力是卸载后保留在构件内的自平衡应力。塑性应变越大、约束越强，卸载后残余应力越高。因此，屈服准则与残余应力之间通过塑性应变历史建立联系。
四、残余应力分类与变形度量
按作用尺度，残余应力分为三类：第一类（宏观残余应力）跨越构件多个晶粒，是导致翘曲和开裂的主要因素；第二类（微观残余应力）作用于晶粒尺度，与相变和晶粒取向有关；第三类（超微观残余应力）存在于原子尺度，由位错和点缺陷引起。增材制造中，第一类应力可通过基板预热、扫描策略优化和后续热处理调控；第二、三类应力则更多影响疲劳和耐蚀性能。
变形度量方面，常用指标包括：总位移 Umag、Z 向翘曲量、基板角变形 θ、以及成形件与设计模型的偏差。对于悬臂结构，角变形可用 θ≈arctan(Δz/L) 估算，其中 Δz 为自由端 Z 向位移，L 为悬臂长度。实际检测中，三坐标测量机（CMM）或激光扫描得到的点云与 CAD 模型对比，可给出最大偏差和均方根偏差 RMS。判断是否合格，需结合装配公差：若翘曲量超过 0.2 mm 且影响后续装配，则需调整工艺或增加支撑。
五、从概念到实操：一个简化算例
假设 LPBF 成形一个 20 mm×5 mm×2 mm 的悬臂梁，材料为 316L，室温屈服强度 250 MPa。热-力耦合仿真提取冷却后自由端 Z 向位移 Δz=0.35 mm，悬臂长度 L=20 mm，则角变形 θ≈arctan(0.35/20)≈1.0°。同时提取根部最大 von Mises 应力为 310 MPa，超过屈服强度，说明该处已进入塑性，残余应力较高。若装配允许最大翘曲 0.2 mm，则当前工艺不合格。可采取的措施包括：基板预热至 200 ℃ 降低温度梯度、采用 67° 层间旋转减小应力集中、或在悬臂下方增加支撑。调整后重新提取 Δz 和 σvm，若 Δz≤0.2 mm 且 σvm 低于屈服强度，则判定合格。