4. 采集函数与实验决策

在贝叶斯优化驱动的材料实验中，代理模型只负责给出“未知函数长什么样”的概率判断，真正决定“下一炉该配什么成分、该跑哪个温度点”的，是采集函数（acquisition function）。它把后验均值与后验方差压缩成一个可比较的标量分数，从而把“预测哪里性能好”和“哪里还没探过”这两件事放到同一把尺子上衡量。理解采集函数，本质上就是理解材料实验决策中的探索—利用权衡。

探索与利用：一对必须同时满足的目标

假设我们已用高斯过程拟合了“成分—带隙”或“配方—强度”的关系。后验均值 μ(x) 高，代表模型认为该点性能可能好，这是利用；后验标准差 σ(x) 大，代表模型对该点几乎一无所知，这是探索。只利用会迅速收敛到当前最优附近，可能错过真正的高性能区域；只探索则会把大量实验浪费在明显很差的区域。采集函数的作用，就是用一个可控的参数把两者调和起来。

需要先明确符号约定：本文所有采集函数均以最大化为目标，即选择 α(x) 最大的实验点。若实际指标是“越小越好”（如缺陷密度、电阻率），应先对目标取负号，再套用同一套公式，全文与图示保持一致。

三类主流采集函数

期望改进（EI，Expected Improvement）。设当前已观测最优值为 f*，改进量 I(x)=max(0, μ(x)−f*)。EI 就是该改进量的期望：

EI(x) = (μ(x) − f*) · Φ(z) + σ(x) · φ(z)
其中 z = (μ(x) − f*) / σ(x)
Φ 为标准正态累积分布函数，φ 为标准正态概率密度函数

EI 的直观含义是：只有当 μ(x) 超过 f* 时才有“改进”，而 σ(x) 越大，越过 f* 的概率越高，第二项 σ(x)·φ(z) 正是对不确定性的奖励。EI 对“略优于当前最优”的点给中等分，对“可能大幅优于当前最优”的点给高分，因此非常适合材料实验中“稳步提升、偶尔跳跃”的场景。

置信上界（UCB，Upper Confidence Bound）。UCB 直接构造一个乐观估计：

UCB(x) = μ(x) + κ · σ(x)

κ 是探索系数。κ 大则偏向探索未测区域，κ 小则偏向利用已知好点。UCB 的优点是形式简单、可解释性强，且 κ 可以随实验轮次衰减（如 κ_t = κ₀·0.9^t），实现“先广撒网、后精耕”的策略。在材料实验中，若前期需要快速圈定成分空间的大致范围，UCB 往往比 EI 更激进。

汤普森采样（Thompson Sampling）。它不直接计算分数，而是从后验分布中抽取一个函数样本 f̃(x)，然后选择该样本上的最大值点：

x_next = argmax_x f̃(x),  f̃ ~ GP(μ(x), k(x,x'))

汤普森采样天然平衡探索与利用：抽到的样本若在某区域很高，就会去测那里；若某区域样本值低，就自然被跳过。它的计算成本通常低于 EI 的解析式，且易于扩展到批量采集。在材料实验中，当实验批次需要并行安排多个配方时，汤普森采样可以一次抽取多个样本，分别取各自最大值点，形成一批候选实验。

批量采集策略

材料实验往往一次能跑多个样品（如一次合成 6 个配方），因此需要批量采集。最简单的做法是“贪心批量”：先选 α(x) 最大的点，再选次大的点，但这样容易选到彼此非常接近的点，造成信息冗余。更合理的做法是引入多样性惩罚：

α_batch(x) = α(x) − λ · max_{x'∈已选批次} k(x, x')

其中 k(x,x') 是核函数相似度，λ 控制惩罚强度。这样选出的批次既分数高，又彼此分散，覆盖不同的成分区域。另一种常用策略是局部惩罚：每选一个点后，临时降低其邻域内的采集分数，再选下一个。对于材料实验，建议批次大小控制在 4～8 个，λ 取 0.5～1.0 之间，具体需根据成分空间的尺度和核函数长度尺度调整。

面向材料实验的采集函数定制

标准采集函数假设实验无成本、无约束。但材料实验常带有成本差异（贵金属配方比普通配方贵）、可行性约束（某些成分比例无法合成）和多目标（同时追求强度和韧性）。此时可做如下定制：

• 成本加权 EI：α(x) = EI(x) / cost(x)，优先选择“单位成本改进高”的实验点。
• 约束 EI：对不可行区域，将采集分数置零或乘以可行性概率 P(feasible|x)。
• 多目标 EI：使用超体积改进（EHVI），衡量新点对 Pareto 前沿超体积的期望贡献。

下面这张图展示了从代理模型后验到采集决策的完整信号链，以及三类采集函数在同一后验上的不同偏好。

实战：一次带隙优化的采集决策

假设我们要在 x∈[0,1] 的成分比例空间中最大化带隙，已测 5 个点，当前最优 f*=1.8 eV。高斯过程给出某候选点 A 的 μ=1.9 eV、σ=0.3 eV，候选点 B 的 μ=1.5 eV、σ=0.8 eV。取 κ=2：

UCB(A) = 1.9 + 2×0.3 = 2.5
UCB(B) = 1.5 + 2×0.8 = 3.1  → 选 B（探索优先）

若用 EI（f*=1.8）：
z_A = (1.9−1.8)/0.3 = 0.33，EI(A) ≈ 0.3×φ(0.33) + 0.1×Φ(0.33) ≈ 0.15
z_B = (1.5−1.8)/0.8 = −0.375，EI(B) ≈ 0.8×φ(−0.375) + (−0.3)×Φ(−0.375) ≈ 0.13
→ 选 A（利用优先）

这个例子清楚说明：同一组后验参数，UCB 因 κ 放大不确定性而选 B，EI 因 B 的均值低于当前最优而选 A。实际实验中，若前期样本少、希望快速摸清空间，选 UCB 或较大 κ；若已接近目标性能、希望稳定提升，选 EI 更合适。汤普森采样则介于两者之间，且天然支持批量。

采集函数是连接“模型认知”与“实验行动”的决策枢纽。掌握 EI、UCB、汤普森采样三者的数学形式与偏好差异，再结合成本、约束、批量多样性做定制，就能让每一轮材料实验都花在信息量最大的点上，而不是凭经验盲目试错。