📚 课程目录第3章菲克定律与扩散方程

3. 菲克定律与扩散方程

扩散动力学的一切定量计算，最终都要落到两个偏微分方程上：菲克第一定律描述“通量如何由浓度梯度驱动”，菲克第二定律描述“浓度场如何随时间演化”。在 DICTRA 这类计算软件中，求解器内部处理的正是第二定律的离散形式，但工程师必须能读懂第一定律给出的通量边界条件，才能正确设置边界、解释结果。本节把两条定律、稳态与非稳态的差别、误差函数解以及无限长/有限长扩散偶的解析方法串成一条可计算的线索。

一、参照系与符号约定

先固定约定，全文与图示保持一致：取一维坐标 x 向右为正，浓度 C(x,t) 为单位体积（或单位质量）中的溶质含量，扩散通量 J 定义为沿 +x 方向单位时间通过单位面积的物质量，单位为 mol·m⁻²·s⁻¹。扩散系数 D 取正值。当浓度随 x 增大而升高（∂C/∂x > 0）时，物质实际由高浓度向低浓度输运，即 J 指向 −x，因此第一定律写作 J = −D·∂C/∂x，负号正是“下坡扩散”的数学表达。

二、菲克第一定律：通量与梯度的瞬时关系

第一定律是瞬时、局部的关系式，不含时间导数，它回答“此刻此处的通量是多少”。它本身不描述浓度如何变化，但它是第二定律的推导起点，也是所有边界条件的物理来源。例如渗碳时炉气与表面达到平衡，表面浓度被固定为 C_s，此时表面处的通量由表面内侧的浓度梯度决定；若表面反应极快，则表面浓度恒定，属于第一类边界条件；若表面反应慢，则通量由反应速率控制，属于第三类（混合）边界条件。

第一定律还给出一个重要推论：稳态时通量沿 x 处处相等。因为稳态下 ∂C/∂t = 0，由第二定律可知 ∂J/∂x = 0，即 J 为常数。对 D 为常数的平板，这意味着浓度梯度 ∂C/∂x 为常数，浓度沿厚度方向线性分布。这是稳态扩散最直观的判据：看到线性浓度剖面，就应想到稳态。

三、菲克第二定律：连续性方程与浓度演化

把第一定律代入质量守恒（连续性方程）：取厚度 Δx 的薄片，流入通量 J(x)，流出通量 J(x+Δx)，净积累速率等于 −∂J/∂x，于是

∂C/∂t = ∂/∂x ( D · ∂C/∂x )

当 D 为常数时：
∂C/∂t = D · ∂²C/∂x²

这就是菲克第二定律。它说明：浓度随时间的变化率正比于浓度剖面的曲率。曲率为负（上凸，如扩散偶中高浓度一侧的肩部）时浓度下降；曲率为正（下凹）时浓度上升；曲率为零（线性段）时浓度不变——再次印证稳态即线性剖面。第二定律是抛物型方程，需要一个初始条件 + 两个边界条件才能定解，这一点在设置 DICTRA 或解析计算时至关重要。

四、一维稳态解：平板与多层壁

稳态问题不含时间，直接对 J = 常数积分即可。对单层平板，厚度 L，两侧浓度 C₁（x=0）与 C₂（x=L），则

C(x) = C₁ + (C₂ − C₁)·x / L
J = −D·(C₂ − C₁) / L        （常数，与 x 无关）

对由多层不同 D 组成的复合壁，稳态下各层通量相同，但各层梯度不同：D 小的层梯度大、浓度降得多，D 大的层梯度小。串联热阻/电阻的类比在这里完全适用，总通量可写成 J = ΔC / Σ(L_i/D_i)。这一结论常用于解释多层涂层、氧化膜与包覆层中的扩散瓶颈位置。

五、非稳态解与误差函数解

非稳态问题最经典的可解析情形是半无限长扩散偶：初始时 x < 0 区域浓度为 C_A，x > 0 区域浓度为 C_B，界面在 x = 0，两端无限延伸，无对流、无反应、D 为常数。其解为

C(x,t) = (C_A + C_B)/2 + (C_A − C_B)/2 · erf( x / (2√(D t)) )

erf(z) = (2/√π) ∫₀^z exp(−η²) dη

误差函数 erf 的取值：erf(0)=0，erf(0.5)≈0.5205，erf(1)≈0.8427，erf(2)≈0.9953。界面处 x=0 时 erf=0，浓度恒为 (C_A+C_B)/2，不随时间变化，这是扩散偶界面浓度保持中值的数学依据。解中出现的组合量 x/(2√(Dt)) 说明：浓度剖面是自相似的，扩散距离尺度为 √(Dt)。工程上常用 x ≈ √(Dt) 估算“扩散影响深度”，或用 t ≈ x²/D 估算达到某深度所需时间。

误差函数解还给出两个常用工程判据：

渗层深度判据：若把达到 (C_s−C₀) 某一比例的位置定义为层深，可反解 erf 值得到对应的 x/√(Dt)。例如取界面浓度变化一半处，erf(z)=0.5 对应 z≈0.4769，即 x ≈ 0.954√(Dt)。
表面浓度恒定（第一类边界）解：半无限体初始浓度 C₀，表面恒为 C_s，则 C(x,t) = C_s − (C_s−C₀)·erf(x/(2√(Dt)))，这是渗碳、渗氮层浓度剖面的标准解析式。

六、无限长与有限长扩散偶的解析方法

“无限长”是理想化：只要扩散影响区远未到达试样端部，即 √(Dt) ≪ 试样半长，半无限解就足够准确。当扩散进行到端部并发生反射时，必须改用有限长处理。有限长扩散偶的解析方法主要有三类：

分离变量法（傅里叶级数解）：对有限区间 0 ≤ x ≤ L，边界条件取两端不透（零通量）或两端定浓度，初始条件按余弦/正弦级数展开，解为 Σ A_n·cos(nπx/L)·exp(−n²π²Dt/L²)。长时间后只剩 n=1 项，浓度趋于均匀，衰减时间常数 τ = L²/(π²D)。
镜像法（叠加法）：把有限长试样看作无限长空间中周期性排列的扩散偶，用无限长误差函数解在镜像位置叠加，自动满足零通量边界。这是处理“封闭系统均匀化”最便捷的手算方法。
数值解：当 D 随浓度变化、存在多相或移动界面时，解析解不再成立，需用有限差分/有限元离散第二定律。DICTRA 正是这一类：它把单相区用隐式差分求解，把相界面用局部平衡条件耦合，从而处理有限长、多组元、变 D 的真实扩散偶。

下面这张图把本节的核心关系组织成一张“方程—条件—解”的映射图：左侧是两条定律的输入输出，中间是稳态与非稳态的分支，右侧是三类典型解析结果及其适用判据，底部给出从实际问题到解析式或数值求解的选择路径。

七、一个可手算的示例：渗碳层深度估算

设 20CrMnTi 齿轮在 930 ℃ 渗碳，表面碳势 C_s = 1.0%（质量分数），心部初始 C₀ = 0.20%，该温度下 D ≈ 1.5×10⁻¹¹ m²/s（示例取值，实际应查表或由 DICTRA 数据库给出）。要求渗层深度（定义为含碳量达到 0.40% 处）达到 0.8 mm，估算所需时间。

由 C = C_s − (C_s−C₀)·erf(z)，代入 C = 0.40：

0.40 = 1.00 − (1.00 − 0.20)·erf(z)
erf(z) = (1.00 − 0.40) / 0.80 = 0.75
查表：erf(0.813) ≈ 0.750
z = x / (2√(Dt)) = 0.813
t = x² / (4 D z²) = (0.8×10⁻³)² / (4 × 1.5×10⁻¹¹ × 0.813²)
  ≈ 6.4×10⁻⁷ / (3.97×10⁻¹¹) ≈ 1.61×10⁴ s ≈ 4.5 h

该结果说明：在给定 D 与碳势下，0.8 mm 渗层约需 4.5 小时。若把温度提高到 950 ℃，D 增大约 1.6 倍，时间可缩短到约 2.8 小时；若碳势提高到 1.2%，所需 erf 值变为 (1.2−0.4)/(1.2−0.2)=0.80，z≈0.906，时间进一步缩短。这类估算正是解析解在工程中的价值：快速给出工艺窗口，再用 DICTRA 做变 D、多组元、有限长的精确校核。

误差函数解成立的前提是：D 为常数、无对流、无内反应、半无限长、初始为阶跃分布。任何一条不满足，都应转向有限长解析或数值求解。DICTRA 的优势恰在于它不要求这些理想条件。

常见错误：把 x/(2√(Dt)) 中的 t 与工艺总时间混用，或在有限长试样上直接套用半无限解。判断标准是 √(Dt) 是否远小于试样半长；若二者同量级，端部反射会使实际浓度高于半无限解预测值，必须改用分离变量或镜像法。

把本节内容压缩成一句话：第一定律给出通量与梯度的瞬时关系，第二定律给出浓度场的演化方程；稳态对应线性剖面与常数通量，非稳态在半无限条件下由误差函数解描述，有限长则通过分离变量、镜像法或数值方法处理。掌握这套映射关系，才能在 DICTRA 中正确设置初始条件、边界条件与求解区域，并对计算结果做出物理上合理的判读。