2. 概率论基础回顾
在可靠性工程中，产品的寿命（如小时、循环次数、里程）是一个随机变量。要准确描述寿命数据的统计规律，必须掌握概率论中的几个核心函数。本节将系统回顾这些基础概念，并建立它们与威布尔分布的直接联系。
2.1 随机变量与寿命数据
随机变量是描述随机试验结果的变量。在寿命建模中，我们主要关注连续型随机变量，即寿命 T 可以在某个区间内取任意实数值（如 T > 0）。
| 类型 | 定义 | 寿命建模示例 |
|---|---|---|
| 离散型随机变量 | 取值可数（如 0, 1, 2, …） | 某批次产品中的缺陷个数 |
| 连续型随机变量 | 取值充满一个或多个区间 | 轴承失效时间、电子元件寿命 |
关键点：威布尔分布专门用于建模连续型寿命数据。所有后续函数（PDF、CDF、生存函数、风险函数）都是针对连续型随机变量定义的。
2.2 概率密度函数 (PDF)
概率密度函数 f(t) 描述了随机变量在某个特定值附近的“相对可能性”。对于连续型变量，f(t) 本身不是概率，曲线下面积才是概率。
- 数学定义： P(a ≤ T ≤ b) = ∫ab f(t) dt
- 归一化性质： ∫0∞ f(t) dt = 1
- 可靠性意义： PDF 曲线越高，表示产品在该时间点附近失效的可能性越大。
威布尔 PDF 形式（三参数）：
f(t) = (β/η) · ((t − γ)/η)β−1 · exp[−((t − γ)/η)β], t ≥ γ, β > 0, η > 0
其中 β 为形状参数，η 为尺度参数，γ 为位置参数（通常 γ = 0 简化为两参数威布尔）。
f(t) = (β/η) · ((t − γ)/η)β−1 · exp[−((t − γ)/η)β], t ≥ γ, β > 0, η > 0
其中 β 为形状参数，η 为尺度参数，γ 为位置参数（通常 γ = 0 简化为两参数威布尔）。
2.3 累积分布函数 (CDF)
累积分布函数 F(t) 表示随机变量 T 小于或等于某个值 t 的概率。在可靠性中，CDF 直接对应不可靠度（失效概率）。
- 数学定义： F(t) = P(T ≤ t) = ∫0t f(x) dx
- 性质： F(t) 是单调非减函数，且 F(0) = 0，F(∞) = 1。
- 与 PDF 的关系： f(t) = dF(t)/dt
威布尔 CDF 形式（两参数）：
F(t) = 1 − exp[−(t/η)β], t ≥ 0
F(t) = 1 − exp[−(t/η)β], t ≥ 0
2.4 生存函数 (Survival Function)
生存函数 S(t) 是 CDF 的补函数，表示产品在时间 t 之后仍然正常工作的概率。它是可靠性工程中最直观的指标之一。
- 数学定义： S(t) = P(T > t) = 1 − F(t)
- 性质： S(0) = 1，S(∞) = 0，单调非增。
- 工程意义： 常被称为“可靠度函数” R(t)。
威布尔生存函数：
S(t) = exp[−(t/η)β], t ≥ 0
S(t) = exp[−(t/η)β], t ≥ 0
2.5 风险函数 (Hazard Function)
风险函数 h(t) 是可靠性工程独有的核心概念，它描述了在时刻 t 仍然存活的产品，在下一个瞬间发生失效的“瞬时失效率”。
- 数学定义： h(t) = limΔt→0 P(t ≤ T < t + Δt | T ≥ t) / Δt = f(t) / S(t)
- 与 PDF、CDF 的关系： h(t) = f(t) / (1 − F(t))
- 累积风险函数： H(t) = ∫0t h(x) dx = −ln S(t)
重要区别：PDF f(t) 描述的是全体产品在时刻 t 的失效密度；而风险函数 h(t) 描述的是“幸存者”在时刻 t 的失效风险。威布尔分布之所以强大，正是因为其风险函数可以呈现递增（β > 1）、递减（β < 1）或恒定（β = 1）三种形态，对应产品不同的失效机理。
威布尔风险函数：
h(t) = (β/η) · (t/η)β−1, t ≥ 0
h(t) = (β/η) · (t/η)β−1, t ≥ 0
2.6 四大函数关系总览
以下 SVG 图清晰展示了 PDF、CDF、生存函数和风险函数之间的数学转换关系，以及它们在威布尔分布中的具体形式。
2.7 函数对比速查表
下表总结了四个核心函数的定义、取值范围和威布尔表达式，便于快速查阅。
| 函数名称 | 符号 | 定义 | 取值范围 | 威布尔形式 (两参数) |
|---|---|---|---|---|
| 概率密度函数 | f(t) | 失效密度 | ≥ 0 | (β/η)·(t/η)β−1·exp[−(t/η)β] |
| 累积分布函数 | F(t) | P(T ≤ t) | [0, 1] | 1 − exp[−(t/η)β] |
| 生存函数 | S(t) | P(T > t) | [0, 1] | exp[−(t/η)β] |
| 风险函数 | h(t) | 瞬时失效率 | ≥ 0 | (β/η)·(t/η)β−1 |
2.8 风险函数形状与失效机理
威布尔分布的风险函数形状完全由形状参数 β 决定，这是它成为可靠性工程首选模型的关键原因。
- β < 1（递减风险）： 对应早期失效期（浴盆曲线左段），如制造缺陷导致的早期故障。
- β = 1（恒定风险）： 对应偶然失效期（浴盆曲线中段），指数分布的特例，失效完全随机。
- β > 1（递增风险）： 对应耗损失效期（浴盆曲线右段），如磨损、老化、疲劳。
实战提示：通过估计 β 值，可以快速判断产品处于哪个生命周期阶段，从而制定针对性的可靠性改进策略（如筛选试验、预防性维护、设计优化）。
2.9 累积风险函数与概率图
累积风险函数 H(t) = −ln S(t) 在威布尔概率图绘制中扮演核心角色。对威布尔生存函数取两次对数可得线性关系：
ln[−ln S(t)] = β·ln(t) − β·ln(η)这个线性关系是威布尔概率图（Weibull Plot）的理论基础，也是后续章节中参数图估计法的核心工具。
2.10 本章小结
本节回顾了可靠性寿命建模的四个核心概率函数：
- PDF f(t) — 描述失效密度，曲线下面积为概率。
- CDF F(t) — 描述不可靠度，单调递增至 1。
- 生存函数 S(t) — 描述可靠度，单调递减至 0。
- 风险函数 h(t) — 描述瞬时失效率，威布尔的核心优势。
这些函数之间通过积分、补集和比值关系紧密相连。掌握它们之间的转换，是后续进行威布尔分布参数估计、概率图绘制和寿命预测的数学基础。