📚 课程目录第3章线性黏弹性本构的数学基础

3. 线性黏弹性本构的数学基础

线性黏弹性本构的核心思想是：材料在任意时刻的响应，是此前全部加载历史的线性叠加。这一思想由 Boltzmann 叠加原理给出物理表述，由卷积积分与遗传积分给出数学表述，而蠕变柔量 J(t) 与松弛模量 G(t) 则是同一材料行为的两种互补描述。本节把这套数学工具拆开讲清楚，为后续时温等效与工程建模打基础。

一、Boltzmann 叠加原理：历史可加性

先约定符号与参照系：取加载时刻为 τ，观察时刻为 t，恒有 t ≥ τ；应力 σ、应变 ε 均以受拉为正。Boltzmann 叠加原理包含两条内容：

线性性：若应力 σ₁ 产生应变 ε₁、σ₂ 产生 ε₂，则 σ₁+σ₂ 产生 ε₁+ε₂。
历史无关性（记忆可加）：每个应力增量对当前应变的贡献，只取决于该增量的大小和它发生的时刻，与之后发生了什么无关。

把加载历史切成一系列阶跃增量 Δσ(τᵢ)，每个增量在 t 时刻的应变贡献为 Δσ(τᵢ)·J(t−τᵢ)，其中 J 是蠕变柔量。总应变就是所有贡献之和：

ε(t) = Σ Δσ(τᵢ) · J(t − τᵢ)      （离散叠加形式）

这就是 Boltzmann 叠加原理最直观的数学形态。注意 J(t−τ) 中的自变量是“时间差”而非绝对时刻，这正是线性黏弹性材料“时不变”的体现。

二、卷积积分与遗传积分

把离散增量取极限，令 Δσ(τ) → (dσ/dτ)dτ，求和变为积分，得到遗传积分（hereditary integral）的蠕变型表述：

ε(t) = ∫₀ᵗ J(t − τ) · (dσ/dτ) dτ + σ(0)·J(t)

若初始应力为零、加载从 t=0 开始，第二项消失，形式简化为标准卷积：

ε(t) = ∫₀ᵗ J(t − τ) · σ̇(τ) dτ = (J * σ̇)(t)

对偶地，用松弛模量 G(t) 可以从应变历史求应力：

σ(t) = ∫₀ᵗ G(t − τ) · ε̇(τ) dτ

两式结构完全对称，区别只在于“谁是被积的驱动量”。工程上更常用 Stieltjes 形式 ε(t)=∫₀ᵗ J(t−τ) dσ(τ)，它对含阶跃的应力历史同样成立，无需单独处理 σ̇ 的冲激项。

卷积的物理含义：J(t−τ) 是“权重核”，它把过去每个时刻的加载速率按距今时间长短加权。距今越久（t−τ 越大），J 通常越大，说明早期加载对当前变形贡献更大——这就是黏弹性的“记忆衰减”特征。

三、蠕变柔量与松弛模量的对应关系

J(t) 与 G(t) 并非独立，它们通过卷积互为逆核。在 Laplace 域中关系最简洁：设 s 为 Laplace 变量，则

s² · J̃(s) · G̃(s) = 1    ⟺    J̃(s) · G̃(s) = 1/s²

等价地，在时域中二者满足第二类 Volterra 积分方程：

∫₀ᵗ G(t − τ) · J(τ) dτ = t

这条恒等式是校验材料函数是否自洽的实用判据：若实测 J(t) 与 G(t) 代入后明显偏离 t，说明测试或拟合存在问题。

对常见的标准线性固体（三参数模型），二者有解析对应：

J(t) = J_g + (J_e − J_g)(1 − e^(−t/τ_c))
G(t) = G_e + (G_g − G_e) e^(−t/τ_r)

其中 J_g、G_g 为玻璃态（瞬时）值，J_e、G_e 为平衡（长期）值，τ_c、τ_r 分别为蠕变与松弛特征时间。二者满足 G_g·J_g = 1、G_e·J_e = 1，但 τ_c 与 τ_r 一般不相等，这是初学者最容易混淆的一点。

四、工程实现：从离散数据到卷积计算

实测中 J(t) 或 G(t) 通常是一组离散点，直接做卷积需要数值方案。常用做法是把材料函数拟合成 Prony 级数（广义 Maxwell 或 Kelvin 模型）：

G(t) = G_∞ + Σᵢ Gᵢ · exp(−t/τᵢ)
J(t) = J_0 + Σⱼ Jⱼ · (1 − exp(−t/τⱼ))

Prony 级数把卷积变成递推，计算量从 O(N²) 降到 O(N)。以应力松弛为例，给定应变历史 ε(tₙ)，用广义 Maxwell 递推：

对每个松弛单元 i：
  hᵢ(n) = exp(−Δt/τᵢ)·hᵢ(n−1) + Gᵢ·(ε(n) − ε(n−1))
σ(n) = G_∞·ε(n) + Σᵢ hᵢ(n)

这里 hᵢ 是第 i 个单元的“历史记忆变量”，它把无穷远的过去压缩成一个标量，这正是遗传积分在数值上的落地方式。

实操建议：先用 DMA 或蠕变试验得到 J(t) 或 G(t) 的离散点，在 log-log 坐标下检查是否满足 J_g·G_g≈1、J_e·G_e≈1；再用最小二乘拟合 Prony 级数，通常 3～5 个时间常数即可覆盖 3～4 个数量级的时间范围。拟合后务必回代 ∫G(t−τ)J(τ)dτ≈t 做自洽校验。

五、一个可手算的示例

设某聚合物在 25 ℃ 下的松弛模量可用单松弛单元近似：G(t)=200+800·exp(−t/10) MPa（G_e=200 MPa，G_g=1000 MPa，τ_r=10 s）。现施加应变历史：0～5 s 内以 0.002 /s 线性加载至 ε=0.01，之后保持恒定。用遗传积分求 t=20 s 时的应力。

加载段（0≤t≤5）：ε̇=0.002 /s，σ(5)=∫₀⁵ G(5−τ)·0.002 dτ。令 u=5−τ，得 σ(5)=0.002·[200·5+800·10·(1−e^(−0.5))]=0.002·[1000+8000·0.3935]=0.002·4148≈8.30 MPa。

保持段（5<t≤20）：应变恒定，ε̇=0，但历史记忆继续松弛。t=20 s 时，加载段贡献按 G(20−τ) 重新加权，等效为 σ(20)=0.002·∫₀⁵ G(20−τ)dτ。令 v=20−τ，积分区间 v∈[15,20]：σ(20)=0.002·[200·5+800·10·(e^(−1.5)−e^(−2.0))]=0.002·[1000+8000·(0.2231−0.1353)]=0.002·[1000+702]≈3.40 MPa。

结果解读：应力从加载结束时的 8.30 MPa 松弛到 3.40 MPa，降幅约 59%，符合 G(t) 从 1000 MPa 向 200 MPa 衰减的趋势。这个手算过程完整展示了“历史加权 + 时间平移”的卷积思想，也是编写数值程序前的必要校验。

常见错误：把 J(t) 与 G(t) 当作简单倒数关系（J=1/G）。只有在玻璃态和平衡态两个极限下才成立；中间过程必须用卷积或 Laplace 域关系处理，否则会显著高估或低估长期变形。

掌握 Boltzmann 叠加、卷积积分与 J–G 对应关系后，任意复杂加载历史都可以分解为阶跃或斜坡的组合来求解。这套数学工具是下一阶段引入时温等效原理、把不同温度下的曲线平移成主曲线的直接前提。