3. 约束求解基础概念：变量、域、约束、可行解、最优解、约束满足问题（CSP）定义
在智能寻源算法中，约束求解的核心是将业务规则转化为数学语言。本章将系统讲解约束满足问题（CSP）的五大基础构件：变量、域、约束、可行解与最优解。理解这些概念是后续配置求解器参数、设计接口调用的前提。
3.1 约束满足问题（CSP）的形式化定义
一个约束满足问题由三元组 (X, D, C) 定义：
- X = {x₁, x₂, …, xₙ}：有限变量集合
- D = {D₁, D₂, …, Dₙ}：每个变量对应的域（取值范围）
- C = {c₁, c₂, …, cₘ}：约束条件集合，每个约束作用于一个或多个变量
核心思想： 为每个变量从其域中选取一个值，使得所有约束同时被满足。满足所有约束的赋值称为可行解；若存在目标函数，则从中选出最优的称为最优解。
3.2 变量与域
变量是问题中需要决策的对象。在寻源场景中，变量通常代表：
- 供应商选择（如：
supplier_A是否被选中） - 采购数量分配（如：
qty_to_B分配给供应商B的数量） - 运输方式（如：
mode_C选择海运/空运/陆运）
域是变量所有可能取值的集合，分为三种常见类型：
| 域类型 | 说明 | 寻源示例 |
|---|---|---|
| 布尔域 | {0, 1} 或 {true, false} | 是否选择某供应商 |
| 整数域 | 连续或离散整数区间 | 采购数量、交货天数 |
| 符号域 | 有限枚举值 | 运输方式、质量等级 |
实践注意： 域的大小直接影响求解效率。域越小，搜索空间越小，求解速度越快。在API参数配置中，应尽量通过域缩减（domain reduction）技术提前剪枝。
3.3 约束
约束定义了变量之间必须满足的关系。根据作用范围，约束可分为：
- 一元约束：限制单个变量的取值。例如：
supplier_A 的质量等级必须为 "A级" - 二元约束：关联两个变量。例如：
qty_to_A + qty_to_B = 总需求 - 高阶约束：涉及三个及以上变量。例如：
若 supplier_A 被选中，则其运输方式不能为 "空运"
在智能寻源中，常见的约束类型包括：
| 约束类型 | 数学表达 | 业务含义 |
|---|---|---|
| 容量约束 | ∑qtyᵢ ≤ capacity | 供应商产能上限 |
| 预算约束 | ∑(priceᵢ × qtyᵢ) ≤ budget | 采购总金额不超预算 |
| 互斥约束 | supplier_A + supplier_B ≤ 1 | 两个供应商不能同时选择 |
| 依赖约束 | supplier_A → mode_C ≠ "空运" | 选择A供应商时禁用空运 |
3.4 可行解与最优解
可行解：对每个变量赋予一个域内的值，且满足所有约束的完整赋值。一个CSP可能有零个、一个或多个可行解。
最优解：在可行解集合中，使目标函数（如总成本最小、交付时间最短）达到最优的解。当问题引入目标函数时，CSP扩展为约束优化问题（COP）。
关键区别： 寻源算法中，若只要求满足所有约束（如供应商资质、数量匹配），则只需寻找可行解；若需要最小化总成本或最大化准时率，则必须求解最优解。API调用时需明确指定求解模式。
3.5 CSP 求解流程与结构
下图展示了从问题定义到解输出的完整流程，以及各基础概念在流程中的位置：
3.6 概念对比与总结
下表汇总了五个核心概念在寻源场景中的具体体现：
| 概念 | 符号 | 寻源实例 | API 参数对应 |
|---|---|---|---|
| 变量 | xᵢ | 供应商选择标志、分配数量 | variables 数组 |
| 域 | Dᵢ | {0,1}、[0, 10000]、{"海运","空运"} | domains 对象 |
| 约束 | cⱼ | 产能上限、预算限制、互斥选择 | constraints 列表 |
| 可行解 | — | 满足所有约束的采购方案 | solutions 返回集 |
| 最优解 | — | 成本最低的可行采购方案 | bestSolution 字段 |
本章要点：
- CSP 由变量、域、约束三元组定义，是智能寻源算法的数学基础。
- 可行解满足所有约束；最优解在可行解基础上优化目标函数。
- 域的大小和约束的紧密度直接影响求解效率，API 参数配置时应优先考虑域缩减。
- 理解这些基础概念，是后续学习求解器接口调用与参数调优的前提。