3. 经典预测模型回顾：ARIMA、指数平滑、Prophet的原理与适用场景
在构建集成模型之前，必须深刻理解基础预测器的行为模式。本章回顾三种最经典的时序预测模型：ARIMA（自回归积分滑动平均）、指数平滑（Exponential Smoothing）与Prophet（Facebook 开源预测工具）。它们分别代表了统计建模、状态空间分解与可解释机器学习三条技术路线，是后续多样性增强集成的核心基模型。
3.1 ARIMA：差分平稳与自回归滑动平均
ARIMA 模型由三个核心参数定义：(p, d, q)。其中 p 为自回归阶数，d 为差分次数（用于消除趋势与季节性），q 为滑动平均阶数。其数学形式为：
ARIMA(p,d,q) 模型方程（简化）：
(1 - φ₁B - … - φₚBᵖ)(1 - B)ᵈ yₜ = (1 + θ₁B + … + θₙBᵠ) εₜ
其中：
- B 为滞后算子（B yₜ = yₜ₋₁）
- φ 为自回归系数
- θ 为滑动平均系数
- εₜ 为白噪声误差项
适用场景特征：
- 数据具有明显的自相关结构（ACF/PACF 拖尾或截尾）
- 通过差分可转化为平稳序列（单位根检验通过）
- 无复杂外部回归变量，或外部变量可线性引入（ARIMAX）
- 样本量建议 ≥ 50，参数估计稳定
实战避坑：ARIMA 对缺失值敏感，且无法直接处理多周期季节性（如同时存在日、周、年周期）。对于长周期数据，建议先做 STL 分解再分别建模。
3.2 指数平滑：加权衰减与状态空间统一
指数平滑家族（ETS）通过指数衰减权重对历史观测进行加权平均，核心思想是“越近的数据权重越大”。现代 ETS 框架已统一为状态空间模型，支持趋势（Trend）与季节（Seasonal）分量的加法/乘法组合。
| ETS 分量组合 | 趋势类型 | 季节类型 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| ETS(A,N,N) | 无趋势 | 无季节 | 白噪声或平稳序列 |
| ETS(A,A,A) | 加法趋势 | 加法季节 | 线性趋势 + 恒定振幅季节 |
| ETS(A,M,A) | 乘法趋势 | 加法季节 | 指数增长趋势 + 恒定振幅季节 |
| ETS(M,M,M) | 乘法趋势 | 乘法季节 | 指数增长 + 振幅随水平变化的季节 |
适用场景特征：
- 数据具有清晰的趋势和/或季节性模式
- 预测目标为短期到中期（1~12 个周期）
- 需要自动选择最优平滑参数（通过 AICc 或似然比）
- 对模型可解释性要求较高（参数直接对应平滑系数）
3.3 Prophet：可分解的加法模型与变化点检测
Prophet 将时间序列分解为三个主要分量：趋势（Trend）、季节（Seasonality）与节假日效应（Holidays）。其核心公式为：
y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + εₜ
其中：
- g(t)：分段线性或逻辑增长趋势，自动检测变化点（changepoints）
- s(t)：傅里叶级数拟合的多周期季节性（年、周、日）
- h(t)：用户自定义的节假日/事件窗口效应
- εₜ：不可解释的误差项
Prophet 的独特优势：
- 对缺失值和异常值鲁棒（自动填充与调整）
- 支持自定义变化点位置与季节性周期
- 输出置信区间与分量可视化，便于业务解释
- 适合具有强节假日效应或多周期叠加的业务数据
3.4 三模型对比总览
| 维度 | ARIMA | 指数平滑 (ETS) | Prophet |
|---|---|---|---|
| 理论基础 | 自相关 + 差分平稳 | 指数加权 + 状态空间 | 加法分解 + 贝叶斯推断 |
| 趋势处理 | 差分消除 | 加法/乘法趋势分量 | 分段线性/逻辑增长 |
| 季节性处理 | SARIMA 扩展 | 加法/乘法季节分量 | 傅里叶级数（多周期） |
| 外部变量 | ARIMAX 支持 | 不支持（需扩展） | 内置节假日 + 自定义回归 |
| 缺失值鲁棒性 | 低 | 中 | 高 |
| 计算速度 | 快（小样本） | 快 | 中（MCMC 采样） |
| 可解释性 | 中（ACF/PACF） | 高（平滑参数） | 高（分量分解） |
| 典型预测长度 | 短期 | 短期~中期 | 中期~长期 |
集成多样性关键洞察：ARIMA 擅长捕捉线性自相关结构，ETS 擅长处理趋势-季节的平滑变化，Prophet 则对突变点与节假日效应有天然鲁棒性。三者对同一时间序列的预测误差往往呈现低相关性——这正是模型集成多样性增强的核心基础。在后续章节中，我们将利用这种误差互补性构建加权集成与元学习框架。