时间序列模型从统计到深度学习的迁移适配工程案例 - 第2节

2.1 时间序列的定义与核心成分

时间序列（Time Series）是按时间顺序排列的观测值集合。与横截面数据不同，时间序列的相邻观测之间存在依赖关系，这种依赖性是建模的核心依据。一个完整的时间序列通常可分解为四种成分：趋势、季节、周期与残差。

2.1.1 四种成分的定义与对比

2.1.2 加法模型与乘法模型

四种成分的组合方式主要有两种：

• 加法模型： \( Y_t = T_t + S_t + C_t + R_t \) —— 适用于成分之间相互独立、波动幅度不随趋势变化的情况。
• 乘法模型： \( Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times R_t \) —— 适用于季节波动幅度随趋势水平变化的情况（如零售额随经济规模增长而季节性波动放大）。

2.2 平稳性：时间序列建模的基石

平稳性（Stationarity）是时间序列建模中最核心的前提假设。一个平稳时间序列的统计性质（均值、方差、自协方差）不随时间平移而改变。如果序列非平稳，直接建模会导致伪回归、预测失效等问题。

2.2.1 严平稳 vs 弱平稳

2.2.2 非平稳的常见类型与处理方法

• 趋势非平稳：均值随时间单调变化 → 差分或去趋势
• 季节非平稳：均值随季节周期变化 → 季节差分或季节虚拟变量
• 方差非平稳：波动幅度随时间变化 → 对数变换或 Box-Cox 变换
• 结构突变：均值或方差在某个时间点发生跳跃 → 分段建模或加入突变虚拟变量

2.2.3 平稳性检验方法

2.3 白噪声：模型诊断的基准线

白噪声（White Noise）是最简单的时间序列过程，也是模型诊断的基准线。如果一个模型能有效提取数据中的所有结构信息，那么残差应该表现为白噪声。

2.3.1 白噪声的定义与性质

一个序列 \(\{ \varepsilon_t \}\) 被称为白噪声，当且仅当满足以下三个条件：

1. 零均值： \( E(\varepsilon_t) = 0 \)
2. 恒定方差： \( Var(\varepsilon_t) = \sigma^2 \)
3. 无自相关： \( Cov(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-k}) = 0, \forall k \neq 0 \)

2.3.2 白噪声检验方法

2.3.3 白噪声与模型诊断的工程流程

# Python 示例：白噪声检验（Ljung-Box）
import numpy as np
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

# 生成白噪声
np.random.seed(42)
white_noise = np.random.normal(0, 1, 500)

# Ljung-Box 检验
result = acorr_ljungbox(white_noise, lags=[10, 20, 30], return_df=True)
print(result)
# 期望：p-value > 0.05，无法拒绝 H₀，即序列为白噪声

# 生成非白噪声（AR(1) 过程）
ar1 = [0]
for i in range(1, 500):
    ar1.append(0.7 * ar1[-1] + np.random.normal(0, 1))

result_ar = acorr_ljungbox(ar1, lags=[10, 20, 30], return_df=True)
print(result_ar)
# 期望：p-value < 0.05，拒绝 H₀，即序列非白噪声

2.4 本章知识结构总结