2. 因果图模型基础：有向无环图(DAG)、d-分离、后门准则与前门准则
在层级预测中，因果特征提取的核心是构建一个能够准确表达变量间因果关系的结构。因果图模型，特别是有向无环图（DAG），为我们提供了形式化描述这种关系的语言。本节将系统讲解DAG的基本构成、阻断伪相关路径的d-分离准则，以及用于识别因果效应的后门准则与前门准则。
2.1 有向无环图（DAG）
DAG是因果推断的骨架。它由节点（变量）和有向边（因果关系）组成，且不允许存在有向环。在DAG中，一条边 X → Y 表示X是Y的直接原因。
关键概念： DAG中的路径是沿着边的方向（有向路径）或不考虑方向（无向路径）的连接序列。因果效应通常通过有向路径传递，而混杂偏倚则通过后门路径（从X到Y，箭头指向X的路径）引入。
下图展示了一个典型的因果DAG，其中包含一个工具变量（Z）、一个处理变量（X）、一个结果变量（Y）以及一个未观测混杂因子（U）。
2.2 d-分离：阻断伪相关路径
d-分离（directional separation）是判断给定条件集下两个变量是否条件独立的准则。如果所有连接X和Y的路径都被条件集Z阻断，则称X和Y在给定Z时d-分离，即 X ⊥ Y | Z。
路径被阻断的三种基本结构（对撞结构是核心难点）：
| 结构类型 | 图示 | 阻断条件 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| 链式 | X → M → Y | 以M为条件 | 教育 → 技能 → 收入 |
| 叉式 | X ← C → Y | 以C为条件 | 年龄 → 疾病, 年龄 → 用药 |
| 对撞式 | X → C ← Y | 不以C为条件（以C为条件反而打开路径） | 才华 → 成名 ← 美貌 |
常见误区： 对撞结构是d-分离中最容易出错的地方。以对撞节点为条件会打开原本阻断的路径，引入虚假关联。例如，在“才华 → 成名 ← 美貌”中，如果以“成名”为条件，才华和美貌会呈现负相关（伯克森悖论）。
2.3 后门准则
后门准则用于识别从X到Y的因果效应，当存在从X到Y的后门路径（即箭头指向X的路径）时，我们需要通过调整变量来阻断这些路径。
后门准则定义： 给定一个变量集Z，如果Z满足：
- Z中不包含X的后代节点；
- Z阻断了X和Y之间所有后门路径；
则通过调整Z可以识别X对Y的因果效应，即 P(Y | do(X=x)) = Σ_z P(Y | X=x, Z=z) P(Z=z)。
工程实践： 在层级预测中，后门准则常用于选择需要控制的混杂变量。例如，在预测“广告投放(X)”对“销售额(Y)”的影响时，需要控制“季节(Z)”这个后门路径上的变量。
2.4 前门准则
当存在未观测混杂因子导致后门准则无法直接应用时，前门准则提供了一种替代方案。它利用一个中介变量M来间接估计因果效应。
前门准则定义： 给定一个变量集M，如果M满足：
- M完全中介了X对Y的效应（所有X→Y的因果路径都经过M）；
- X到M的效应是可识别的（没有未阻断的后门路径）；
- M到Y的效应是可识别的（没有未阻断的后门路径）；
则因果效应可识别为：P(Y | do(X=x)) = Σ_m P(M=m | X=x) Σ_x' P(Y | M=m, X=x') P(X=x')。
下图对比了后门准则与前门准则的典型结构：
2.5 三种准则的工程选择策略
在实际的层级预测工程中，选择哪种准则取决于数据结构和可观测变量：
| 场景 | 推荐准则 | 工程约束 |
|---|---|---|
| 所有混杂变量可观测且无对撞结构 | 后门准则 | 需要收集所有后门路径上的变量数据 |
| 存在未观测混杂，但有可靠中介变量 | 前门准则 | 中介变量必须完全中介效应，且X→M和M→Y的效应可识别 |
| 存在对撞结构，需要避免选择偏倚 | d-分离分析 | 严格避免以对撞节点为条件 |
层级预测中的典型应用： 在时间序列层级预测中，后门准则常用于选择外部特征（如宏观经济指标）作为控制变量；前门准则可用于通过中间层级的预测值来推断底层到顶层的因果效应，从而提升调和预测的准确性。