2. 问题定义与数学建模：联合优化问题的数学形式化

在促销影响量化与层级预测的联合优化中，核心挑战在于：预测模型追求最小化误差，而业务部门追求最小化促销成本。两者天然存在张力——过度促销虽能压低库存误差，却侵蚀利润；预测模型若忽略促销杠杆，则误差飙升。本章将这一矛盾形式化为一个带约束的多目标优化问题，并给出可求解的数学表达。

2.1 联合优化的总体框架

联合优化问题可抽象为：在满足库存、产能、预算等约束的前提下，同时最小化层级预测误差与促销总成本。其数学形式为：

下图展示了联合优化问题的输入、决策变量、目标与约束的整体结构：

2.2 目标函数：预测误差与促销成本的加权和

设时间窗口为 T，层级结构为 L（如 SKU → 品类 → 区域）。定义：

• 预测误差项 E：采用加权均方误差（WMSE），对不同层级赋予不同权重 α_l，以反映业务关注优先级。
• 促销成本项 C：包括直接折扣成本、营销执行成本、以及因促销导致的额外库存持有成本。

联合目标函数如下：

min J(d, f) = λ · E(d, f) + (1 - λ) · C(d, f)

其中：
E(d, f) = Σ_{l∈L} α_l · (1/T) · Σ_{t=1}^{T} (ŷ_{l,t}(d,f) - y_{l,t})²
C(d, f) = Σ_{t=1}^{T} [ c_d · d_t · base_price_t + c_f · f_t + c_h · max(0, I_t - I_target) ]

参数说明：
λ        ∈ [0,1]          —— 误差‑成本权衡系数
α_l      ≥ 0, Σα_l = 1    —— 层级权重
d_t      ∈ [0, D_max]     —— t 期促销深度（折扣率）
f_t      ∈ {0,1}          —— t 期是否促销
ŷ_{l,t}                   —— 层级 l 在 t 期的预测销量（受 d_t, f_t 影响）
y_{l,t}                   —— 实际销量
c_d, c_f, c_h             —— 折扣、固定促销、持有成本系数
I_t                       —— t 期末库存

2.3 约束条件体系

约束条件分为三类：库存动态约束、预算与资源约束、业务规则约束。下表列出核心约束及其数学表达：

2.4 层级预测误差的分解与聚合

层级预测模型采用自底向上（Bottom-Up）与自顶向下（Top-Down）混合结构。联合优化中，误差项 E 需在层级间分解：

E_total = α_bottom · E_bottom + α_mid · E_mid + α_top · E_top

其中：
E_bottom = (1/N_sku) · Σ_{sku} (ŷ_sku - y_sku)²
E_mid    = (1/N_cat) · Σ_{cat} (ŷ_cat - y_cat)²
E_top    = (1/N_reg) · Σ_{reg} (ŷ_reg - y_reg)²

α_bottom + α_mid + α_top = 1

这种分解使得优化器可以针对不同层级分配误差权重。例如，若零售端更关注 SKU 级精度，则设 α_bottom = 0.6，引导促销计划优先降低细粒度预测偏差。

2.5 完整数学形式化总结

将上述元素整合，联合优化问题的完整形式为：

其中 g_l(·) 表示层级 l 的预测模型（如 LightGBM + 时序分解），其输入包含促销决策变量，从而将预测与优化耦合。

2.6 求解策略概览

由于目标函数非凸且包含整数变量 f_t，直接求解困难。本课程采用交替方向乘子法（ADMM）与代理模型（Surrogate Model）结合的思路：

1. 外层循环：固定 λ，使用贝叶斯优化搜索促销计划 (d, f) 的候选解。
2. 内层循环：对每个候选解，调用层级预测模型 g_l 计算预测误差 E，同时计算成本 C。
3. 约束处理：采用罚函数法将库存、预算约束加入目标，形成无约束问题。
4. 帕累托前沿：遍历 λ ∈ [0,1]，得到误差‑成本权衡曲线，供业务决策。