3. EOQ 基本公式：年总成本函数、最优订货量 Q* 与订货周期 T

经济订货批量（EOQ）模型的核心在于平衡订货成本与持有成本。本章将系统推导年总成本函数，并基于该函数求解最优订货量 Q* 与最优订货周期 T，为后续库存参数配置奠定数学基础。

3.1 年总成本函数（TC）的构成

在 EOQ 基本假设下（需求连续、恒定；提前期为零；不允许缺货），年总成本由三个部分构成：

• 年采购成本：\( D \times P \)，其中 \( D \) 为年需求量，\( P \) 为单价。该部分为固定成本，与订货批量无关。
• 年订货成本：\( \frac{D}{Q} \times S \)，其中 \( Q \) 为订货批量，\( S \) 为单次订货成本。订货次数随 \( Q \) 增大而减少。
• 年持有成本：\( \frac{Q}{2} \times H \)，其中 \( H \) 为单位商品年持有成本。平均库存为 \( Q/2 \)，持有成本随 \( Q \) 增大而增加。

因此，年总成本函数为：

由于 \( D \times P \) 为常数，不影响最优解，实际优化时通常只关注可变成本部分：

可变成本 VC(Q) = (D/Q) × S + (Q/2) × H

3.2 最优订货量 Q* 的推导

对可变成本函数求导并令导数为零，可求得使总成本最小的订货批量：

1. 对 VC(Q) 求导：\( \frac{d(VC)}{dQ} = -\frac{D \times S}{Q^2} + \frac{H}{2} \)
2. 令导数为零：\( -\frac{D \times S}{Q^2} + \frac{H}{2} = 0 \)
3. 整理得：\( \frac{D \times S}{Q^2} = \frac{H}{2} \)
4. 解得：\( Q^* = \sqrt{\frac{2 \times D \times S}{H}} \)

代入 Q* 可得到最小年总成本（不含采购成本）：

TC_min = D × P + √(2 × D × S × H)

3.3 订货周期 T 的确定

订货周期 T 表示两次订货之间的时间间隔。在需求率恒定的条件下，T 由最优订货量 Q* 与年需求量 D 共同决定：

T = Q* / D（年）

若转换为天数（按年工作日 365 天计）：

T（天）= (Q* / D) × 365

订货周期 T 与 Q* 成正比，与年需求量 D 成反比。需求越大的商品，订货周期越短，补货频率越高。

3.4 参数关系与敏感性分析

参数变化	对 Q* 的影响	对 T 的影响	对 TC_min 的影响
年需求量 D ↑	Q* 增大（平方根关系）	T 缩短	TC_min 增大
订货成本 S ↑	Q* 增大	T 延长	TC_min 增大
持有成本 H ↑	Q* 减小	T 缩短	TC_min 增大
采购成本 P ↑	无影响	无影响	TC_min 线性增大

3.5 EOQ 成本曲线与最优解可视化

下图展示了年总成本函数中各项成本随订货批量 Q 的变化趋势，以及最优订货量 Q* 的位置：

3.6 计算示例与代码实现

案例数据：某 SKU 年需求量 D = 12,000 件，单次订货成本 S = 300 元，单位年持有成本 H = 10 元/件·年，单价 P = 50 元。

手工计算：

• Q* = √(2 × 12,000 × 300 / 10) = √720,000 ≈ 848.53 件（取整为 849 件）
• T = 849 / 12,000 ≈ 0.07075 年 ≈ 25.8 天
• TC_min = 12,000 × 50 + √(2 × 12,000 × 300 × 10) = 600,000 + 8,485.28 = 608,485.28 元

Python 计算函数：

import math

def eoq_calc(D, S, H, P):
    """
    计算 EOQ 模型核心参数
    :param D: 年需求量（件）
    :param S: 单次订货成本（元）
    :param H: 单位年持有成本（元/件·年）
    :param P: 单位采购成本（元/件）
    :return: 字典包含 Q_star, T_year, T_days, TC_min
    """
    Q_star = math.sqrt(2 * D * S / H)
    T_year = Q_star / D
    T_days = T_year * 365
    TC_min = D * P + math.sqrt(2 * D * S * H)
    return {
        "Q_star": round(Q_star, 2),
        "T_year": round(T_year, 4),
        "T_days": round(T_days, 1),
        "TC_min": round(TC_min, 2)
    }

# 示例调用
result = eoq_calc(D=12000, S=300, H=10, P=50)
print(result)
# 输出: {'Q_star': 848.53, 'T_year': 0.0707, 'T_days': 25.8, 'TC_min': 608485.28}

3.7 订货周期与补货节奏

订货周期 T 决定了库存补货的节奏。在实际工程中，T 通常需要与企业的采购日历对齐：

• 周补货：T ≈ 7 天，适用于高周转、低持有成本的快消品。
• 双周补货：T ≈ 14 天，适用于中等周转的常规物料。
• 月补货：T ≈ 30 天，适用于低周转、高持有成本或供应商有最小起订量的物料。
• 季补货：T ≈ 90 天，适用于长提前期、高订货成本的战略物料。

当理论 T 与采购周期不匹配时，建议优先调整持有成本 H 或订货成本 S 的估算值，使 Q* 落在可执行的补货周期附近，而非强行取整。

下图展示了不同订货周期对应的补货节奏与库存水平变化：

3.8 本章小结