3. EOQ核心公式推导：年总成本 = 订货成本 + 持有成本，求解最优订货量 Q*
经济订货批量（EOQ）模型的核心目标是在需求确定、不允许缺货、订货提前期恒定的理想条件下，找到使年总库存成本最小化的单次订货数量。年总成本（TC）仅由两项构成：年订货成本与年持有成本。
3.1 模型基本假设与参数定义
在推导前，需明确以下假设条件与符号含义：
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| D | 年需求量（已知常数） | 件/年 |
| S | 单次订货成本（含运输、检验、行政等） | 元/次 |
| H | 单位库存年持有成本（含资金占用、仓储、损耗等） | 元/件·年 |
| Q | 单次订货批量（决策变量） | 件/次 |
| TC | 年总库存成本 | 元/年 |
关键假设：需求均匀连续、订货瞬时到货、不允许缺货、单价固定。在此条件下，库存水平呈锯齿状周期性变化，平均库存为 Q/2。
3.2 年总成本函数构建
年总成本由两项线性与非线性分量组成：
- 年订货成本 = (年订货次数) × (单次订货成本) = (D / Q) × S
- 年持有成本 = (平均库存量) × (单位年持有成本) = (Q / 2) × H
因此，年总成本函数为：
TC(Q) = (D / Q) × S + (Q / 2) × H其中，订货成本随 Q 增大而递减（反比例关系），持有成本随 Q 增大而递增（线性关系）。最优订货量 Q* 位于两条成本曲线相交处。
3.3 最优订货量 Q* 的数学推导
对 TC(Q) 关于 Q 求一阶导数，并令其等于零：
d(TC)/dQ = - (D × S) / Q² + H / 2 = 0整理得：
H / 2 = (D × S) / Q²
Q² = (2 × D × S) / H
Q* = √(2 × D × S / H)二阶导数验证：d²(TC)/dQ² = 2 × D × S / Q³ > 0，故 Q* 为极小值点。
记忆口诀：“二倍需求乘订货，除以持有再开方”——Q* = √(2DS/H)。
3.4 成本曲线与最优解可视化
下图展示了年总成本、订货成本与持有成本随订货批量 Q 的变化趋势，以及最优解 Q* 的位置：
3.5 最优订货策略下的关键指标
将 Q* 代回原函数，可得到最小年总成本及配套运营指标：
| 指标 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 最小年总成本 TC* | √(2 × D × S × H) | 等于 Q* 处的订货成本与持有成本之和 |
| 最优订货次数 N* | D / Q* = √(D × H / (2 × S)) | 全年应执行的订货频次 |
| 最优订货周期 T* | 365 / N*（天） | 相邻两次订货的时间间隔 |
实战注意：EOQ 模型对参数 D、S、H 的误差敏感。实际应用中，建议对 S 和 H 进行敏感性分析，避免因参数估算偏差导致订货量偏离最优解过远。
3.6 推导过程总结
EOQ 核心公式的推导逻辑可归纳为以下步骤：
- 建立总成本函数：TC(Q) = (D/Q)·S + (Q/2)·H
- 求一阶导数：dTC/dQ = -DS/Q² + H/2
- 令导数为零：H/2 = DS/Q²
- 求解 Q：Q² = 2DS/H → Q* = √(2DS/H)
- 验证极值：二阶导数大于零，确认最小值