3. 需求不确定性建模：正态分布与泊松分布在需求预测中的应用、标准差与变异系数的计算
需求不确定性是库存缺货的核心诱因。要量化缺货风险，首先必须对需求分布进行数学建模。本章聚焦两种最常用的概率分布——正态分布与泊松分布，并讲解衡量离散程度的两个关键指标：标准差（σ）与变异系数（CV）。
3.1 正态分布 vs. 泊松分布：适用场景与数学特征
选择哪种分布取决于需求数据的性质。下表总结了两种分布的核心差异与选择依据：
| 特征维度 | 正态分布 | 泊松分布 |
|---|---|---|
| 适用数据类型 | 连续型需求（如重量、长度、金额） | 离散型计数（如订单笔数、故障次数） |
| 关键参数 | 均值 μ，标准差 σ | 平均发生率 λ（λ = 均值 = 方差） |
| 方差与均值关系 | 独立，方差可大于或小于均值 | 方差 = 均值（λ） |
| 典型应用 | 月需求量、补货周期总需求 | 日订单数、周缺货次数、低需求SKU |
| 前提假设 | 数据对称、无极端异常值 | 事件独立、发生率稳定 |
选型提示：当需求均值较低（如 λ < 10）且需求为整数计数时，优先使用泊松分布；当需求数据连续且样本量足够（通常 n > 30）时，正态分布是更稳健的选择。
3.2 标准差（σ）与变异系数（CV）的计算
标准差衡量需求的波动幅度，变异系数则衡量相对波动幅度，两者共同构成缺货风险量化的基础。
3.2.1 标准差（σ）
总体标准差与样本标准差公式如下：
总体标准差：σ = √[ Σ(xᵢ - μ)² / N ]
样本标准差：s = √[ Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1) ]在库存管理中，通常使用样本标准差，因为历史需求数据是样本而非全量总体。
3.2.2 变异系数（CV）
变异系数消除了量纲和均值的影响，用于比较不同SKU的需求波动性：
CV = σ / μ （或 s / x̄）CV 值越大，表示相对波动越剧烈，缺货风险越高。
实战经验：CV < 0.5 为低波动，0.5 ≤ CV ≤ 1.0 为中波动，CV > 1.0 为高波动。高波动SKU应设置更高的安全库存系数。
3.3 需求不确定性建模流程
以下流程图展示了从原始需求数据到分布选择、参数计算、再到缺货风险量化的完整路径：
3.4 实战计算示例
以下通过两个案例演示标准差与变异系数的计算过程：
案例 A：正态分布（连续需求）
某SKU过去12周的需求数据（单位：件）：
周需求：120, 135, 110, 145, 130, 125, 140, 115, 150, 128, 138, 122计算步骤：
- 均值 μ = (120+135+110+145+130+125+140+115+150+128+138+122) / 12 = 1,558 / 12 ≈ 129.83
- 标准差 σ = √[ Σ(xᵢ - μ)² / (n-1) ] ≈ 12.15
- 变异系数 CV = 12.15 / 129.83 ≈ 0.094（低波动）
案例 B：泊松分布（离散计数）
某低需求SKU过去10天的日订单数：
日订单：2, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1计算步骤：
- 平均发生率 λ = (2+0+1+3+1+2+0+1+2+1) / 10 = 13 / 10 = 1.3
- 标准差 σ = √λ = √1.3 ≈ 1.14
- 变异系数 CV = 1.14 / 1.3 ≈ 0.877（中高波动）
注意：泊松分布要求方差等于均值。若实际数据方差显著偏离均值（如方差远大于均值），应考虑使用负二项分布或其他过离散模型。
3.5 分布选择决策树
为帮助快速决策，以下给出分布选择的简化规则：
- 数据为连续型且样本量 ≥ 30 → 正态分布（使用 μ, σ）
- 数据为离散计数且均值 λ ≤ 10 → 泊松分布（使用 λ）
- 数据为离散计数且均值 λ > 10 → 可用正态近似泊松（μ=λ, σ=√λ）
- 数据存在明显偏态或过离散 → 考虑伽马分布或负二项分布