2. 船舶运动数学模型基础

航迹规划与自动跟踪的核心，是让控制器“知道”船舶在给定舵角、主机转速下会怎样运动。这种“输入—响应”关系的数学描述就是船舶运动数学模型。本节从平面运动学方程出发，逐步引入三自由度与六自由度模型，并说明操纵性参数如何直接影响航迹规划中的转弯半径、航段长度与跟踪增益选择。

一、平面运动学方程：位置与姿态的传递关系

在航迹规划层面，最常用的是水平面运动学方程。先约定坐标系：采用北东地惯性坐标系（NED，x轴指北、y轴指东），船体坐标系原点取在船舶重心，x_b轴指向船首，y_b轴指向右舷，首摇角ψ从北向顺时针为正。设船舶对地速度为(u, v)（船体系纵荡、横荡分量），首摇角速度为r，则运动学关系为：

ẋ = u·cosψ − v·sinψ
ẏ = u·sinψ + v·cosψ
ψ̇ = r

这三个方程只描述几何关系，不含力与质量，因此称为“运动学方程”。它决定了给定速度与转首率时船舶轨迹的形状。例如某船以u=6 m/s、v≈0、r=0.01 rad/s航行，则瞬时转弯半径R≈u/r=600 m；若规划航段要求R≤300 m，就必须提高r或降低u。这一简单估算在航迹规划中用于快速判断某航段是否“转得过来”。

二、三自由度与六自由度模型

三自由度模型（纵荡、横荡、首摇，即 surge–sway–yaw）是航迹跟踪控制的主力模型，其动力学形式可写为：

m( u̇ − v·r ) = X
m( v̇ + u·r ) = Y
I_z·ṙ = N

其中X、Y为船体合力与力矩在船体系的分量，I_z为首摇转动惯量。工程上常采用一阶Nomoto模型简化操舵响应：T·ṙ + r = K·δ，其中δ为舵角，K为回转性指数，T为追随性指数。该模型把复杂的流体动力简化为两个参数，非常适合控制器设计与航迹预演。

六自由度模型在三自由度基础上增加垂荡（heave）、横摇（roll）、纵摇（pitch），用于考虑波浪中的垂向运动、横倾对稳性与推进效率的影响。对航迹规划而言，六自由度模型主要用于：评估恶劣海况下的航向保持能力、分析横倾引起的回转圈偏移、以及为动力定位等精细作业提供依据。一般内河与沿海航迹跟踪采用三自由度即可，远海或高海况场景才需要六自由度。

三、操纵性参数及其在航迹规划中的意义

操纵性参数是连接“模型”与“规划”的桥梁。最常用的两个参数来自Nomoto模型：回转性指数K与追随性指数T。K越大，单位舵角产生的稳态转首率越大，船舶越“灵活”；T越大，转首响应越滞后，船舶越“迟钝”。二者可通过标准Z形试验（如10°/10°）或回转试验辨识。

在航迹规划中，这些参数至少影响三件事：

• 转弯半径约束。稳态回转半径R≈u/(K·δ)。若某船K=0.12 s⁻¹、u=6 m/s、最大舵角δ=35°≈0.61 rad，则R≈6/(0.12×0.61)≈82 m；规划航段转弯半径应留出1.5～2倍余量，取R_plan≥150 m。
• 航段切换的提前量。T越大，船舶越晚开始转向。若T=30 s，在6 m/s下“滞后距离”约u·T=180 m，规划时应在转弯点前约180 m开始打舵，否则会切内角。
• 跟踪控制器增益。K小、T大的船，航向PID的比例增益应适当降低、积分时间加长，避免振荡；反之可提高响应速度。

四、一个可操作的参数使用示例

假设某内河货船通过Z形试验辨识得到K=0.10 s⁻¹、T=25 s，设计航速u=5 m/s。规划一条由两段直线和一段90°转弯组成的航线。计算过程如下：

稳态转首率（δ=30°=0.524 rad）: r = K·δ = 0.0524 rad/s
稳态回转半径: R = u/r = 5 / 0.0524 ≈ 95 m
滞后距离: L_lag = u·T = 5 × 25 = 125 m
规划转弯半径取 2R ≈ 190 m
转弯点前 125 m 开始预打舵

据此，规划软件应在转弯点前125 m处生成舵角指令，并将转弯圆弧半径设为190 m。若实际跟踪中发现船舶切内角，说明T估计偏小或预打舵不足，应增大提前量；若出现外漂超调，则说明K偏大或增益过高，应降低控制器比例增益。这一“参数—规划—跟踪—修正”的闭环，正是船舶运动数学模型在工程中的直接价值。