2. 船舶运动数学模型基础

要用水动力方程在 MATLAB 中复现一条船的真实响应，第一步不是写代码，而是把“船怎么动”这件事用一套自洽的数学语言描述清楚。船舶在空间中的运动本质上是刚体运动，最完整的描述是六自由度：沿三个坐标轴的平移（纵荡 surge、横荡 sway、垂荡 heave）和绕三个坐标轴的旋转（横摇 roll、纵摇 pitch、艏摇 yaw）。对于绝大多数航行控制问题——航向保持、航迹跟踪、动力定位——垂荡、横摇、纵摇的影响要么被忽略，要么作为高频扰动处理，真正决定平面轨迹的是纵荡、横荡和艏摇这三个分量，这就是三自由度平面运动模型。

坐标系定义：先约定，再建模

建模中最容易出错的地方不是方程本身，而是符号约定。本课程统一采用两套坐标系：

• 大地坐标系（惯性系）：记为 O-X_EY_EZ_E，原点固定于水面某点，X_E 指向正北，Y_E 指向正东，Z_E 垂直向下。船舶的绝对位置 (x, y) 和航迹角都在此系中表达。
• 船体坐标系（附体系）：记为 o-x_by_bz_b，原点取在船舶重心（或水线面中心），x_b 指向船艏，y_b 指向右舷，z_b 指向龙骨方向。速度 u、v 和角速度 r 都在此系中定义。

符号约定为：纵荡速度 u 沿 x_b 正向为正，横荡速度 v 沿 y_b 正向为正，艏摇角速度 r 以绕 z_b 顺时针（从上方看，船艏向右转）为正，艏向角 ψ 从 X_E 轴量起、顺时针为正。这套“北-东-下”加“艏-右-下”的约定与多数船舶操纵性文献一致，后续所有方程和仿真都不得中途更换，否则正负号会全面错乱。

六自由度到三自由度的降维逻辑

完整的六自由度模型包含 6 个广义坐标和 6 个广义速度，耦合项众多，参数辨识成本高。降维的依据是：垂荡、横摇、纵摇运动主要由波浪激励引起，周期短、幅值小，对水平面内的轨迹积分贡献有限；而纵荡、横荡、艏摇决定了船舶在水平面内的位置与姿态，且时间常数大、与控制输入（螺旋桨推力、舵角、侧推器）直接相关。因此平面运动模型保留状态量 [x, y, ψ, u, v, r]，忽略垂向运动与横摇纵摇的耦合，适用于航速不太高、横摇角较小的常规操纵场景。

三自由度运动方程与转换关系

在船体坐标系中，三自由度平面运动方程可写为：

m( u̇ − v·r ) = X
m( v̇ + u·r ) = Y
I_z · ṙ       = N

其中 m 为船舶质量，I_z 为绕 z_b 轴的转动惯量，X、Y、N 分别为纵向力、横向力和艏摇力矩，包含螺旋桨推力、舵力、船体水动力及阻尼项。注意 v̇ + u·r 中的 u·r 是向心加速度项，它体现了船体坐标系随船转动带来的耦合，是平面模型区别于简单质点模型的关键。

船体坐标系与大地坐标系之间的转换由旋转矩阵完成。设 R(ψ) 为绕 z 轴的旋转矩阵，则：

R(ψ) = [ cosψ  −sinψ ;
         sinψ   cosψ ]

[ẋ; ẏ] = R(ψ) · [u; v]
ψ̇ = r

在 MATLAB 中，这一转换可以直接写成矩阵乘法，便于后续用 ode45 积分。例如给定 ψ = 30°、u = 5 m/s、v = 0.4 m/s，则 ẋ = 5·cos30° − 0.4·sin30° ≈ 4.13 m/s，ẏ = 5·sin30° + 0.4·cos30° ≈ 2.85 m/s。这个手算结果可以作为仿真初期的校验基准：若代码输出的速度分量与此偏差明显，多半是角度单位（度/弧度）或正负号约定出了问题。

建模实操中的关键检查点

把上述方程落到 MATLAB 时，建议按以下顺序推进。首先定义参数结构体，把 m、I_z、各水动力导数（如 X_u、Y_v、N_r）集中存放，避免散落在脚本各处。其次编写状态导数函数，输入为 [x, y, ψ, u, v, r] 和控制量 [推力, 舵角]，输出为六个状态导数，函数内部严格按“先算船体系力与力矩，再算加速度，最后用 R(ψ) 转换到大地系”的顺序组织。再次，用一组简单工况做开环验证：给定恒定推力和零舵角，观察船舶是否沿近似直线加速、ψ 是否保持初值；给定一个舵角阶跃，观察 r 是否收敛到稳定值、航迹是否呈圆弧。最后再接入控制器闭环。