2. 船舶运动数学模型基础

自动舵的核心任务是“根据航向偏差算出舵角”，而它能否算得准、控得稳，前提是有一个能描述船舶如何响应舵角的数学模型。本节从船舶六自由度运动出发，逐步收敛到工程上最常用的 Nomoto 模型，并说明线性与非线性响应模型的差别以及各参数的物理意义，为后续 PID 参数整定和仿真搭建提供被控对象基础。

一、从六自由度到平面三自由度

船舶在空间中的运动可用六个自由度描述：沿三个坐标轴的平移（纵荡 surge、横荡 sway、垂荡 heave）和绕三个坐标轴的旋转（横摇 roll、纵摇 pitch、艏摇 yaw）。工程上通常采用固定坐标系 O-XYZ 与船体坐标系 o-xyz 两套参照：船体坐标系原点取在船舶重心，x 轴指向船首，y 轴指向右舷，z 轴指向龙骨下方；艏摇角 ψ 以船首向右偏转为正，舵角 δ 以右舵为正。这一符号约定在后续 PID 控制器中必须保持一致，否则会出现“越纠越偏”的正反馈。

对航向控制而言，纵荡由主机转速决定、垂荡与纵摇主要受波浪影响、横摇由舵和波浪共同激励，真正与自动舵直接耦合的是艏摇运动，而艏摇又通过横荡产生耦合。因此在航向自动舵设计中，通常把问题简化为“舵角 δ → 艏摇角速度 r → 艏向角 ψ”的平面三自由度（纵荡、横荡、艏摇）问题，横摇仅作为干扰或通过耦合项间接考虑。这一简化是 Nomoto 模型成立的前提。

二、Nomoto 模型：从二阶到一阶

基于线性操纵性理论，船舶艏摇运动可写成二阶线性微分方程：

T₁T₂·ψ⃛ + (T₁+T₂)·ψ̈ + ψ̇ = K·(T₃·δ̇ + δ)

其中 ψ 为艏向角，δ 为舵角，K 为增益，T₁、T₂、T₃ 为时间常数。对大多数船舶，T₃ 与 T₁、T₂ 相比很小，可近似取 T₃≈T₁+T₂−T₁T₂/T₃ 的简化形式，进一步忽略舵角速率项后得到工程上最常用的一阶 Nomoto 模型：

T·ψ̈ + ψ̇ = K·δ
即  ψ̇ = r,   T·ṙ + r = K·δ

写成传递函数形式为 G(s)=ψ(s)/δ(s)=K/[s(Ts+1)]，即“一个积分环节串联一个一阶惯性环节”。这个形式非常直观：舵角先经过一阶惯性产生艏摇角速度 r，r 再积分得到艏向角 ψ。对 PID 设计来说，被控对象含有一个积分环节，意味着开环已有一阶无差度，比例控制即可消除稳态航向偏差，但积分环节也带来相位滞后，是横摇/艏摇振荡的根源之一。

三、线性与非线性响应模型

Nomoto 模型是线性模型，它假设船舶响应与舵角成正比、叠加原理成立。在小舵角（一般 |δ|≤5°～10°）和较小艏摇角速度下，这一假设基本成立，足以支撑航向保持工况的 PID 设计。但当船舶进行大角度回转、或航速较低、或舵角较大时，船舶响应呈现明显的非线性：相同舵角下右舵与左舵的转艏效果不对称，回转角速度存在饱和，甚至出现“舵角增大而转艏不再增加”的现象。

工程上常用的非线性响应模型是 Bech 模型或 Norrbin 模型，其典型形式为在 Nomoto 方程中引入非线性阻尼项：

T·ṙ + r + α·r³ = K·δ

其中 α 为非线性系数，r³ 项刻画了高角速度下的阻尼增强。当 |r| 较小时 α·r³ 可忽略，模型退化为线性 Nomoto 模型；当 |r| 较大时该项显著，使模型更贴近实船。对自动舵而言，线性模型用于小偏差航向保持的 PID 整定，非线性模型则用于大角度转向、航向变更和极限工况的仿真验证，两者配合使用才能既保证设计简便又保证仿真可信。

四、参数获取与仿真建模要点

K 与 T 不能凭空设定，工程上通常通过实船或船模的 Z 形试验（10°/10° 或 20°/20°）获取：记录舵角与艏向角响应曲线，从曲线中读取转艏角速度的稳态值反推 K，从达到稳态值 63% 的时间读取 T。若没有试验条件，也可用经验公式估算，例如基于船长 L 与航速 V 的回归式，但这类估算只适合初步仿真，不能替代辨识结果。

在 Simulink 或 Python 中搭建该模型时，一阶 Nomoto 模型可直接用“增益 + 惯性 + 积分”三个模块串联实现，状态变量取 r 与 ψ。以某教学示例船（假设 K=0.12 1/s，T=18 s，航速 12 kn）为例，若给定 5° 右舵阶跃，稳态艏摇角速度约为 K·δ=0.12×5°≈0.6°/s，达到 63% 稳态值约需 18 s。仿真时应注意：舵角输入需限幅（通常 ±35°）并加舵速限制（如 2.5°/s），否则模型响应会偏离实际；同时应把航向角 ψ 做 ±180° 的周期处理，避免积分累积导致角度跳变。

理解本节模型后，PID 控制器面对的就不再是一个抽象黑箱，而是一个具有明确增益、惯性和非线性的动态对象。后续整定 PID 参数时，K 决定比例增益的量级，T 决定积分时间与微分作用的取舍，而非线性项则提醒我们：一套参数很难在全工况下都最优，必要时需按航速或海况做增益调度。