2. 船舶运动学与动力学建模基础

路径规划算法最终要落到一条“船能不能开、开得稳不稳”的轨迹上。若只把船当成一个可以任意转向的质点，规划出的折线路径往往在现实中无法跟踪：舵角打满也转不过来，或者转向时横向漂移把船带出安全水域。因此本节要解决的核心问题是——用什么模型描述船的运动，模型里哪些参数真正影响路径的可执行性，以及在规划阶段应当保留多少精度。

一、从“质点”到“刚体”：MMG 模型的基本结构

船舶在水面上的操纵运动通常按三自由度处理：纵荡（前进）、横荡（横向漂移）与艏摇（转向），忽略垂荡、横摇与纵摇对平面轨迹的次要影响。工程与教学中使用最广的是 MMG（Maneuvering Modeling Group）分离式模型，其思想是把船体、螺旋桨、舵三者产生的水动力分开建模再叠加，而不是笼统地给一组水动力导数。在随船坐标系下（x 轴指向船艏，y 轴指向右舷，艏摇角 ψ 以船艏向右转为正），运动方程可写为：

(m + m_x)·u̇ = (m + m_y)·v·r + X_H + X_P + X_R
(m + m_y)·v̇ = -(m + m_x)·u·r + Y_H + Y_R
(I_z + J_z)·ṙ = N_H + N_R

其中 m 为船体质量，m_x、m_y 为纵向与横向附加质量，I_z 为绕 z 轴的转动惯量，J_z 为附加惯性矩；X、Y、N 分别为纵向力、横向力与艏摇力矩，下标 H、P、R 分别代表船体、螺旋桨与舵。船体项通常写成无量纲水动力导数形式，例如 X_H 中含 X_uu·u²、X_vr·v·r 等项；螺旋桨推力 X_P = (1-t)·T，t 为推力减额系数；舵力则依赖舵角 δ 与舵处有效来流速度，含舵力系数与整流系数。这套结构的价值在于：每一个物理部件都有明确输入——主机转速决定推力，舵角决定转艏力矩，规划器给出的期望轨迹最终要翻译成 (n, δ) 序列才能被跟踪。

二、真正影响路径的船舶运动特性参数

MMG 模型参数众多，但路径规划阶段真正需要关心的是少数几个“宏观特性参数”，它们直接决定轨迹的几何可行性：

• 最小回转直径：满舵定速回转时轨迹圆的直径，通常以船长倍数表示，货船约 3～5 倍船长，大型油轮可达 6 倍以上。它给出任何规划转弯的曲率下界。
• 战术直径与纵距：前者是转向 180° 时横向偏移，后者是转向 90° 时沿原航向的前进距离，用于判断避碰转向需要预留多少空间。
• 停船距离与惯性停船时间：从全速到停船的前进距离，常达 8～15 倍船长，说明“说停就停”不可行，规划中必须提前减速。
• 速度响应时间常数：主机变速后航速变化的滞后，通常数十秒到数分钟，影响到达时间估计。
• 横向漂移（漂角）：回转时船艏指向与速度方向不一致，漂角可达 5°～15°，意味着船体扫过的带宽大于航迹线本身。

三、简化模型与精度权衡

完整 MMG 模型是非线性的，参数辨识成本高，直接嵌入规划循环计算量大。实践中按任务分层选用不同保真度：

合理的工程做法是“粗规划用低阶、精校验用高阶”：先用质点或自行车模型在栅格/图上快速得到候选路径，再用 Nomoto 模型检查转弯段是否超出舵角与转艏速率限制，最后把关键航段送入 MMG 模型做一次仿真，确认漂移与停船距离不越界。这样既保证实时性，又不让规划结果停留在纸面。

以 Nomoto 一阶模型为例，若某船 K = 0.12 s⁻¹、T = 18 s，要求航向以 0.5°/s 的速率变化，则稳态所需舵角约为 δ = r/K = (0.5×π/180)/0.12 ≈ 0.073 rad ≈ 4.2°，但受时间常数 T 影响，实际达到该转艏速率需要约 2～3 倍 T 的过渡过程。规划器若假设转向瞬时完成，就会低估转弯半径。

四、典型船型参数案例

下表为教学用示例参数（量级参考常见船型，非特定实船实测值），用于说明不同船型对规划约束的差异：

可以看到，同样一条 90° 转向，渡轮可能只需 200 m 纵距，而大型油轮需要近 2 km。若规划器对所有船型使用同一套曲率阈值，对渡轮过于保守、对油轮则严重不足。因此船型参数表应作为规划器的输入配置，而非硬编码常数。