4. 坐标表示方法与转换原理

AUV 在任务规划中会同时面对两套坐标语言：一套是描述地球表面位置的经纬度（地理坐标），另一套是便于计算航向、距离和路径的平面坐标（投影坐标）。航点表里写的是经纬度，而路径规划、避碰、PID 制导往往在平面直角坐标中完成，因此必须掌握两者之间的投影转换，以及不同平面坐标系之间的旋转与平移关系。本节围绕墨卡托投影、UTM 投影和刚体变换三个核心展开。

一、地理坐标与平面坐标的本质差异

经纬度是球面（更准确说是椭球面）上的角度量：纬度 φ 表示某点法线与赤道面的夹角，经度 λ 表示该点子午面与本初子午面的夹角。它的优点是全球唯一、无投影变形，缺点是“度”不能直接当“米”用——同样 0.001° 的纬度差在赤道约 111 m，而同样 0.001° 的经度差在纬度 30° 处只有约 96 m。平面坐标则是把椭球面展开到平面上，用米制 x、y 描述位置，距离和角度可以直接做线性运算，但必然引入投影变形。AUV 任务规划的基本策略是：存储与交换用经纬度，计算与控制用平面坐标。

二、墨卡托投影：等角但面积失真

墨卡托投影是等角圆柱投影，其核心性质是“保角”——平面上任意两点连线的方位角与球面上真实方位角一致。这正是航海与 AUV 航向控制最看重的性质：在墨卡托平面上画一条直线，按该直线的方向航行即可保持恒定航向（等角航线）。其正算公式（球面近似）为：

x = R · λ            （λ 为经度弧度，东为正）
y = R · ln(tan(π/4 + φ/2))   （φ 为纬度弧度，北为正）
R = 6378137 m（WGS-84 赤道半径）

反算则用 λ = x/R，φ = 2·atan(e^(y/R)) − π/2。墨卡托的致命弱点是纬度越高，纵向拉伸越剧烈，y 值在极区趋于无穷，因此不适合高纬度作业，也不能直接用平面距离代替真实距离。工程上常用的是“局部墨卡托”：以任务区域中心 (φ₀, λ₀) 为原点，只在小范围内投影，此时比例因子近似为 1/cos φ₀，可把平面米制距离换算回真实距离。

三、UTM 投影：分带、低变形、米制直接可用

UTM（通用横轴墨卡托）把地球按经度每 6° 分为 60 个带，每带中央经线比例因子取 0.9996，从而把带内最大长度变形控制在约 0.1% 以内。每个带以中央经线为 x 轴（东向，Easting），赤道为 y 轴（北向，Northing），并人为给东向坐标加 500000 m 的假东移，避免出现负值；南半球再给北向坐标加 10000000 m 的假北移。AUV 近海作业通常落在某一带内，UTM 坐标可直接当米制平面坐标使用，是路径规划最常用的工作坐标系。

需要特别注意两点：其一，UTM 带号由经度决定，带号 = floor((λ + 180)/6) + 1，跨带作业时不能把两个带的坐标混用，必须先统一到同一带或转到局部平面系；其二，UTM 的北向是格网北（Grid North），与真北存在子午线收敛角 γ，高精度航向解算时需做格网方位与真方位换算：真方位 = 格网方位 + γ。

四、不同坐标系之间的旋转与平移

投影解决的是“球面到平面”，而旋转与平移解决的是“平面到平面”。AUV 任务中常见的场景是：任务起点在 UTM 中有一个绝对坐标 (E₀, N₀)，但制导算法希望以起点为原点、以任务主航向为 x 轴建立局部坐标系。这本质是一个二维刚体变换，包含平移（把原点移到起点）和旋转（把坐标轴转到任务方向）两步。

设局部系相对 UTM 格网北的旋转角为 θ（逆时针为正），则 UTM 点 (E, N) 到局部点 (x, y) 的变换为：

dx = E - E0
dy = N - N0
x =  dx·cosθ + dy·sinθ
y = -dx·sinθ + dy·cosθ

反变换只需把 θ 换成 −θ 并加回原点。这里有两个极易出错的细节：第一，旋转与平移的顺序不能交换，必须先平移到原点再旋转，否则旋转中心错位，整条航迹会整体偏移；第二，θ 的参考方向必须全文统一，本课程约定“以正北为 0°、顺时针为正”，若某段代码采用数学逆时针约定，必须显式换算，否则航向会镜像翻转。三维场景（如带纵倾的 AUV 定深）还需引入绕 z 轴的偏航角 ψ 与绕 x、y 轴的横滚、俯仰，构成完整的旋转矩阵 R = Rz(ψ)·Ry(θ)·Rx(φ)，再叠加平移向量 t，即 p_local = R·(p_utm − t)。

五、一个可复现的换算示例

假设任务起点经纬度为 (22.5431° N, 114.0579° E)，经投影得 UTM 50N 坐标 E₀ = 213 500.0 m、N₀ = 2 494 800.0 m；任务主航向相对格网北为 30°。现有一航点 UTM 坐标 E = 213 800.0 m、N = 2 495 100.0 m，求其局部坐标：

dx = 300.0, dy = 300.0, θ = 30°
x = 300·cos30° + 300·sin30° = 259.8 + 150.0 = 409.8 m
y = -300·sin30° + 300·cos30° = -150.0 + 259.8 = 109.8 m

结果说明该航点在局部系中位于起点前方约 410 m、左偏约 110 m 处。若把 θ 误取为 −30°，则 y 会变成 −109.8 m，航点被错误地放到右侧，AUV 将朝相反方向修正——这正是坐标系约定不统一最典型的后果。验证方法很简单：把局部坐标反变换回 UTM，应能精确还原 (213 800, 2 495 100)，误差应在浮点精度量级（<1e-6 m）。

小结：墨卡托保角、适合航向表达；UTM 分带、米制低变形、适合距离与路径计算；旋转与平移负责把绝对平面坐标落到任务局部系。三者串联，才构成 AUV 从“经纬度航点”到“可执行制导指令”的完整坐标处理链。