2. 船舶运动坐标系与自由度
在推力分配与船体环境载荷分析中，所有“位置、速度、力、力矩”的数值都必须挂靠在一个明确的坐标系上才有意义。同一艘船，在码头系泊时船首指向正北，在航行时船首可能指向任意方位；如果推力分配算法不知道“船首方向”和“大地方向”的对应关系，就无法把期望的合力方向正确分解到各个推进器上。因此，本节先建立两套坐标系，再描述六自由度运动，最后给出平面运动简化与坐标变换的基本方法。
一、大地坐标系与船体坐标系
工程上通常采用两套右手直角坐标系：
- 大地坐标系（惯性系）：记为
O-XYZ，原点固定于海面某一点（如作业区中心或码头基准点），X 轴指向正北，Y 轴指向正东，Z 轴垂直向下。它不随船运动，用于描述船舶的绝对位置、航迹和环境载荷方向（如风、浪、流的来向）。 - 船体坐标系（随体系）：记为
o-xyz，原点取在船舶重心或设计水线面中心，x 轴指向船首，y 轴指向右舷，z 轴垂直向下。它随船一起平移和旋转，用于描述推进器布置、船体受力和相对运动。
两套坐标系都是右手系，且 z 轴均向下，这样“垂向运动向下为正”的约定在全文保持一致。需要特别强调的是：船体坐标系中的“前、右、下”是相对船体而言的，当船转向后，船体 x 轴在大地系中的方向随之改变，这正是坐标变换要解决的问题。
二、六自由度运动描述
刚体船舶在空间中的运动可分解为沿三个轴的平移和绕三个轴的旋转，共六个自由度。工程上按“先平移后旋转”的顺序定义如下：
| 自由度 | 运动名称 | 方向/转轴 | 正方向约定 | 典型物理量 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 纵荡（Surge） | 沿 x 轴 | 船首方向为正 | 纵向速度 u、纵向力 X |
| 2 | 横荡（Sway） | 沿 y 轴 | 右舷方向为正 | 横向速度 v、横向力 Y |
| 3 | 垂荡（Heave） | 沿 z 轴 | 向下为正 | 垂向速度 w、垂向力 Z |
| 4 | 横摇（Roll） | 绕 x 轴 | 右舷下沉为正 | 横摇角 φ、横摇力矩 K |
| 5 | 纵摇（Pitch） | 绕 y 轴 | 船首下沉为正 | 纵摇角 θ、纵摇力矩 M |
| 6 | 艏摇（Yaw） | 绕 z 轴 | 船首右转为正 | 艏向角 ψ、艏摇力矩 N |
在动力定位（DP）中，水平面内的三个自由度——纵荡、横荡、艏摇——是推力分配直接控制的对象；垂荡、横摇、纵摇通常由船体浮性和稳性被动承受，但在环境载荷计算和推进器浸没深度校核中仍需关注。例如，横摇角过大可能导致舷侧推进器露出水面，推力骤降，这是 DP 能力分析中必须评估的工况。
三、平面运动简化
对于大多数 DP 作业场景，船舶运动可简化为水平面三自由度模型，状态量取为 η = [x, y, ψ]ᵀ（大地系位置与艏向角）和 ν = [u, v, r]ᵀ（船体系纵荡速度、横荡速度、艏摇角速度）。简化成立的前提是：垂荡、横摇、纵摇运动幅值较小，或其对水平面受力的耦合影响可忽略。此时推力分配只需在纵荡、横荡、艏摇三个方向上平衡环境载荷与期望合力。
简化后，运动学关系为：
ẋ = u·cosψ − v·sinψ
ẏ = u·sinψ + v·cosψ
ψ̇ = r这一组方程说明：船体系速度必须经过艏向角 ψ 的旋转，才能转换为大地系下的位置变化率。推力分配输出的合力是在船体系下表达的，而环境载荷的来向往往在大地系下给出，两者之间的转换正是下一小节的内容。
四、坐标变换基础
设大地系下某向量为 V^n = [X, Y]ᵀ，船体系下为 V^b = [x, y]ᵀ，艏向角为 ψ（船首相对正北顺时针为正），则两系之间的旋转变换为：
V^b = R(ψ)ᵀ · V^n， R(ψ) = [cosψ −sinψ; sinψ cosψ]
V^n = R(ψ) · V^b以教学示例说明：假设某时刻艏向角 ψ = 30°，大地系下风速向量为 [10, 0]ᵀ m/s（正北来风，指向正南则取负，此处仅示意方向）。转换到船体系后，风的作用方向变为 [10cos30°, −10sin30°]ᵀ ≈ [8.66, −5.0]ᵀ，即风从船首左前方来，产生向船尾和左舷的力分量。推力分配据此在纵荡、横荡方向分别配置推力，而不是简单按“正北风”处理。以上数值为示例假设，用于说明变换过程，不代表实测数据。
实际实现时需注意三点：一是旋转矩阵的转置关系不能弄反，R(ψ)ᵀ 用于大地系转船体系；二是角度单位统一为弧度，艏向角需按约定范围归一化（如 −π 到 π）；三是若涉及横摇、纵摇耦合，需扩展为三维旋转矩阵，但在平面简化模型中不引入。建议在代码中将变换封装为独立函数，并对输入向量做单位与量纲检查，避免“力与力矩混用”的低级错误。