2. 推力分配问题的数学描述
在上一节中我们已经明确：DP控制系统由控制器给出三自由度广义力指令 τ = [Fx, Fy, Mz]ᵀ，而推力分配的任务是把这一组“合力与合力矩”分解到各台推进器上。要让计算机真正求解这个问题，必须先把工程语言翻译成数学语言——也就是建立推力分配的一般优化模型。本节围绕三个问题展开：目标函数怎么写、约束条件怎么列、问题规模与实时性如何权衡。
一、决策变量与推力映射关系
设船上有 n 台推进器，第 i 台推进器的推力（或推力指令）记为 uᵢ。对于全回转推进器，uᵢ 是沿其推力方向的标量；对于定距桨加舵的配置，则需同时考虑推力与舵角。为统一表达，工程上常把每台推进器的输出写成二维分量 (Tᵢx, Tᵢy)，再通过推力分配矩阵 B(α) 映射到船体三自由度：
τ = B(α) · u
B(α) = [ b₁(α₁) b₂(α₂) … bₙ(αₙ) ]
bᵢ(αᵢ) = [ cosαᵢ , sinαᵢ , -lᵢy·cosαᵢ + lᵢx·sinαᵢ ]ᵀ其中 αᵢ 为第 i 台推进器的推力方位角，(lᵢx, lᵢy) 为其作用点相对船体旋转中心的坐标。这里必须约定坐标系：本文取船艏为 x 正方向、左舷为 y 正方向、逆时针力矩为正，全文与图示保持一致。矩阵 B 的每一列就是该推进器单位推力对三自由度的“贡献向量”，它把物理布置信息编码进了数学模型。
二、目标函数：误差、能耗与磨损的加权
推力分配本质是一个带约束的优化问题。最基础的目标是让实际合力尽量逼近指令，即最小化推力误差：
J₁ = ‖ B(α)·u − τ_cmd ‖²_W但仅追求误差最小会导致“能耗最优解”被忽略：多台推进器可能以互相抵消的方式产生同一合力，虽然误差为零，却白白消耗功率。因此引入能耗项。推进器功率近似与其推力的平方成正比，常用形式为：
J₂ = Σᵢ (uᵢ² / uᵢ,max²) 或 Σᵢ cᵢ·|uᵢ|³前者是归一化二次型，计算简单、凸性好；后者更贴近螺旋桨功率特性，但非线性更强。此外，频繁调整推力方位角会加剧回转机构磨损，可加入方位角变化惩罚项 J₃ = Σᵢ wᵢ·(αᵢ − αᵢ,prev)²。最终目标函数为加权和：
min J = w₁·J₁ + w₂·J₂ + w₃·J₃权重的选取直接决定分配“性格”：w₁ 大则精度优先，适合动力定位精度要求高的作业；w₂ 大则节能优先，适合长时间待机保持；w₃ 大则减少方位角摆动，适合对机械寿命敏感的老旧设备。实际工程中这些权重常按作业模式分组预设，而非在线随意调整。
三、约束条件：物理极限与安全边界
优化解必须落在物理可行的范围内，主要约束包括：
- 推力上下限：
uᵢ,min ≤ uᵢ ≤ uᵢ,max，其中下限可能为负（表示可反向推力），也可能为零（如某些定距桨不可反转）。 - 推力变化率：
|uᵢ(k) − uᵢ(k−1)| ≤ Δuᵢ,max·Δt，防止指令突变导致机械冲击或功率过载。 - 禁止角：全回转推进器在某些方位角下推力会冲刷船体或相互干扰，需将
αᵢ排除在禁止区间[αᵢ,forbid1, αᵢ,forbid2]之外。 - 推力禁区/互斥区：部分推进器布置过近，同时大推力会产生干扰，需附加耦合约束。
禁止角约束是非凸的，这是推力分配问题求解难度的重要来源。工程上常把方位角离散为若干候选方向（如每 5° 一个格点），把连续非凸问题转化为组合优化，再用混合整数规划或启发式搜索求解。
四、问题规模与实时性
推力分配问题的规模由推进器数量 n 和方位角离散粒度共同决定。若 n=6、每台推进器方位角离散为 72 个候选方向（5° 一格），则组合空间约为 72⁶ ≈ 1.4×10¹¹，直接穷举不可行。因此实际系统普遍采用“分层求解”：先固定方位角求推力幅值（线性或二次规划），再在候选角中搜索使目标最小的组合，或采用序列二次规划（SQP）在连续空间迭代。
实时性方面，DP 控制周期通常在 100～200 ms 量级，推力分配求解必须留出足够余量给控制律计算与通信。工程经验是：单次分配求解时间控制在控制周期的 30%～50% 以内。对于 4～8 台推进器的典型船舶，采用离散化加二次规划的方案，单次求解可在 10～30 ms 内完成；若推进器更多或约束更复杂，则需引入热启动、上一周期解作为初值等加速手段。
五、建模时的常见取舍
建立模型时有三组典型取舍需要提前想清楚。第一，线性还是非线性：若把方位角固定、只优化推力幅值，模型是线性的，求解快但灵活性差；若方位角也作为变量，模型非线性，精度高但求解慢。第二，硬约束还是软约束：推力上下限通常设为硬约束，而推力误差在极端工况下可设为软约束（允许短时超差），避免优化无解。第三，集中式还是分布式：集中式把全部推进器放在一个优化问题里求解，全局最优但计算量大；分布式按推进器分组求解，实时性好但可能牺牲最优性。