4. 推进电机的动态数学模型

矢量控制的所有“精确感”都建立在一个前提上：控制器内部有一台与真实电机同步运行的数学模型。对船舶推进电机而言，这台模型既要足够准确，又要在低开关频率、大惯量、长电缆等船用工况下保持数值稳定。本节先统一参照约定，再分别给出感应电机（IM）与永磁同步电机（PMSM）在dq坐标系下的电压、磁链与转矩方程，最后讨论参数偏差如何传导到控制性能，以及面向推进工况可以做哪些合理简化。

一、参照约定：先定方向，再写方程

全文采用以下约定，图示与公式保持一致：定子电压、电流的正方向取电动机惯例（电流流入电机为正）；dq坐标系为随转子磁场同步旋转的两相坐标系，d轴对齐转子磁链方向（PMSM对齐永磁体磁链，IM对齐转子磁链），q轴超前d轴90°电角度；电磁转矩正方向与转子正转方向一致。所有方程均为标量形式，已做等幅值变换（3/2变换），因此转矩式中不出现3/2系数。若采用等功率变换，转矩与电压方程需相应乘系数，切换时必须整章统一，否则会出现“仿真对、实物转矩偏小”的典型问题。

二、两套模型的方程对照

感应电机（以转子磁链定向）：定子电压方程

u_sd = R_s·i_sd + dψ_sd/dt − ω_1·ψ_sq
u_sq = R_s·i_sq + dψ_sq/dt + ω_1·ψ_sd
0    = R_r·i_rd + dψ_rd/dt − (ω_1 − ω_r)·ψ_rq
0    = R_r·i_rq + dψ_rq/dt + (ω_1 − ω_r)·ψ_rd

磁链方程 ψ_sd = L_s·i_sd + L_m·i_rd，ψ_rd = L_m·i_sd + L_r·i_rd，q轴同理。按转子磁链定向后 ψ_rq = 0、ψ_rd = ψ_r，于是得到转差频率约束 ω_slip = R_r·i_sq / ψ_r，以及转矩方程 T_e = (3/2)·(p·L_m/L_r)·ψ_r·i_sq（若用等幅值变换则去掉3/2，本文统一取等幅值，故 T_e = p·(L_m/L_r)·ψ_r·i_sq）。关键结论是：IM的转矩由“转子磁链×q轴电流”共同决定，磁链通道与转矩通道通过转差频率耦合，励磁不能瞬间建立。

永磁同步电机（以永磁体磁链定向）：电压方程

u_d = R_s·i_d + L_d·di_d/dt − ω_e·L_q·i_q
u_q = R_s·i_q + L_q·di_q/dt + ω_e·(L_d·i_d + ψ_f)

磁链方程 ψ_d = L_d·i_d + ψ_f，ψ_q = L_q·i_q。转矩方程 T_e = (3/2)·p·[ψ_f·i_q + (L_d − L_q)·i_d·i_q]（等幅值变换下为 T_e = p·[ψ_f·i_q + (L_d − L_q)·i_d·i_q]）。与IM相比，PMSM的励磁由永磁体提供，ψ_f 不可调，i_d 只用于弱磁或利用磁阻转矩；表贴式电机 L_d ≈ L_q，磁阻转矩项近似为零，转矩与 i_q 基本成正比，动态响应更快、模型更简单。

三、参数偏差如何传导到控制性能

把方程写成控制器可用的形式后，参数误差的影响就能逐项看清。对IM，转子电阻 R_r 是最敏感的参量：船舶推进长时间运行后绕组温升可达数十开尔文，R_r 变化20%～50%并不罕见，而转差频率 ω_slip 与 R_r 成正比，R_r 偏大时实际磁链角超前于估计角，d/q轴解耦被破坏，表现为轻载时电流畸变、重载时转矩不足。工程上常用定子叠加高频注入或基于反电动势的在线辨识来修正 R_r，并在低速段适当降低磁链给定以减小误差敏感度。

对PMSM，永磁体磁链 ψ_f 随温度升高而下降（钕铁硼典型温度系数约 −0.11%/K），若控制器仍按冷态 ψ_f 计算前馈，高速弱磁区会出现实际电流小于指令、转矩偏低。L_d、L_q 在大电流下因铁芯饱和而下降，磁阻转矩项 (L_d−L_q)·i_d·i_q 随之失真，对IPM推进电机尤为明显。因此参数表不能只给一组铭牌值，而应按“冷态/热态”“轻载/重载”给出分段或在线更新的参数集。

四、面向船舶推进工况的模型简化考量

船用工况有三个鲜明特点：螺旋桨负载转矩近似与转速平方成正比（T_L ≈ k·n²），转动惯量大，且推进电机常长期运行于中低速大转矩区。据此可以做几项有依据的简化，而不是随意降阶。

• 忽略定子电阻压降的适用边界要明确。中高速时 ω_e·ψ 远大于 R_s·i_s，忽略 R_s 对解耦影响很小；但船舶靠泊、动力定位等低速大转矩工况下 R_s·i_s 与反电动势同量级，此时不能省略，否则低速转矩估算偏差明显。
• 电流环带宽与开关频率匹配。大型推进变频器开关频率常低至1～2 kHz，电流环带宽一般取开关频率的1/10～1/15，约100～200 Hz。此时 dq 轴交叉耦合项 ω_e·L·i 不能靠高增益抑制，应显式加入前馈解耦，否则加载时动态压降明显。
• 机械侧可降阶。螺旋桨与轴系惯量大，电磁转矩响应（毫秒级）远快于转速响应（秒级），速度环设计时可将电磁转矩近似为瞬时跟随，把模型简化为“转矩指令→转速”的一阶惯性环节，便于整定速度环PI。
• 长电缆影响并入参数。船用变频器到电机的电缆可能长达数十米，其分布电容与电感会改变实际端电压，工程上可把电缆等效电感并入 L_s、把压降折算为 R_s 修正量，或在输出端加装 dv/dt 滤波后重新标定参数。

小结：IM模型的核心是“磁链惯性+转差耦合”，PMSM模型的核心是“永磁励磁+交叉耦合与磁阻项”。参数偏差通过定向角误差和耦合项误差传导为转矩跟随滞后；面向船舶推进，应按低速大转矩与中高速巡航分段决定是否保留 R_s 项，用前馈解耦弥补低开关频率的带宽不足，并把机械侧降阶用于速度环整定。