ARCH(1) 模型

波动率预测 · 动态对冲策略

第3讲 · 条件异方差

📐 1. ARCH(1) 模型定义自回归条件异方差

均值方程

设收益率序列 r_t 满足：

r_t = μ + ε_t ,   ε_t = σ_t · z_t

其中 z_t ~ i.i.d. N(0,1) (或标准化t分布)，σ_t 为条件波动率。

方差方程 (ARCH(1))

条件方差 σ_t² 依赖于过去残差平方：

σ_t² = ω + α₁ · ε_t-1²

约束：ω > 0 , α₁ ≥ 0 (保证方差为正)。
若 α₁ = 0 则为常数方差。

⚙️ 2. 核心性质无条件矩 · 尖峰厚尾

统计性质

无条件均值 E[ε_t] = 0
无条件方差 Var(ε_t) = ω / (1 - α₁) , 要求 α₁ < 1
峰度 > 3 (若 α₁ > 0) → 厚尾
自相关 ε_t² 存在正自相关
平稳性 二阶平稳 ⇔ α₁ ∈ [0,1)

波动率聚集 (Volatility Clustering)

大的 ε_t-1² 导致大的 σ_t²，从而高波动后跟高波动，形成聚集效应。ARCH(1) 通过 α₁ 捕捉该现象。

▶ 记忆衰减：冲击影响以 α₁^k 衰减。

_t-1² σ_t² ε_t α₁ · z_t · √ 滞后一期反馈 (t → t+1)

📊 3. 参数估计 (MLE) 极大似然估计

似然函数 (高斯假设)

对于样本 t=1,…,T，条件对数似然：

ℓ(θ) = -½ Σ [ ln(2π) + ln(σ_t²) + ε_t² / σ_t² ]

其中 θ = (μ, ω, α₁)。
通常忽略常数项，最大化：

ℓ(θ) ∝ -½ Σ [ ln(σ_t²) + ε_t² / σ_t² ]

数值优化 & 步骤

初始化：设定 ω, α₁ 初值 (如 OLS 残差方差)。
迭代：给定 θ，计算 ε_t = r_t - μ，σ_t² = ω + α₁ ε_t-1²。
计算似然 并利用梯度/数值方法 (BFGS) 更新参数。
约束：ω > 0, 0 ≤ α₁ < 1 (平稳性)。

✔ 常用库： arch (Python) / rugarch (R)

# Python · ARCH(1) 伪代码 (MLE)
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def arch1_loglik(theta, r):
    mu, omega, alpha1 = theta
    eps = r - mu
    T = len(eps)
    sigma2 = np.zeros(T)
    sigma2[0] = omega / (1 - alpha1)  # 无条件方差初始化
    for t in range(1, T):
        sigma2[t] = omega + alpha1 * eps[t-1]**2
    ll = -0.5 * np.sum(np.log(sigma2[1:]) + eps[1:]**2 / sigma2[1:])
    return -ll  # 极小化负对数似然

# 约束: omega>0, 0<=alpha1<1
bounds = [(None, None), (1e-6, None), (0, 0.999)]
res = minimize(arch1_loglik, [0, 0.01, 0.3], args=(r,), bounds=bounds, method='L-BFGS-B')
mu_hat, omega_hat, alpha1_hat = res.x

🔍 4. 模型检验诊断与验证

残差诊断

标准化残差：z_t = ε_t / σ_t 应近似 i.i.d. N(0,1)。
Ljung-Box Q 检验：对 z_t 及 z_t² 检验自相关。若模型正确，z_t² 不应有显著自相关。
ARCH-LM 检验：对残差平方进行拉格朗日乘子检验，判断是否残留 ARCH 效应。

信息准则 & 模型选择

AIC = -2ℓ + 2k (k 参数个数)
BIC = -2ℓ + k ln(T)
更小值表示更优。可比较 ARCH(1) vs ARCH(2) 或 GARCH(1,1)。

📌 若 α₁ 显著且残差平方自相关消失 → 模型充分。

检验方法	原假设 H₀	统计量	决策准则
Ljung-Box (z²)	残差平方无自相关	Q(m) ~ χ²(m)	p > 0.05 不拒绝
ARCH-LM (m阶)	无 ARCH 效应	LM = T·R² ~ χ²(m)	p > 0.05 接受 H₀
Jarque-Bera (z)	正态性	JB ~ χ²(2)	金融数据常拒绝，但一致性仍可
参数显著性 (t检验)	α₁ = 0	t = α₁ / se(α₁)	\|t\| > 1.96 拒绝