📈 平稳性检验时间序列与深度学习预测 · 第3讲

🎒 平稳性定义 · ADF检验 · KPSS检验 · 差分操作

📌 1. 平稳性定义

平稳性 (Stationarity) 是时间序列分析的核心假设。若序列的统计性质（均值、方差、自协方差）不随时间平移而改变，则称其为弱平稳（宽平稳）。

✅ 弱平稳三条件

均值恒定：E[Y_t] = μ (常数)
方差恒定：Var(Y_t) = σ² (有限)
自协方差仅依赖滞后：Cov(Y_t, Y_t-k) = γ_k

🧪 为什么需要平稳？

避免虚假回归
保证统计推断有效
深度学习模型（如LSTM）更易收敛

🔬 2. ADF检验 (Augmented Dickey-Fuller)

ADF检验是单位根检验的常用方法，原假设 H₀：序列存在单位根（非平稳）。备择假设 H₁：序列平稳。

统计量 / 指标	说明	判断准则
ADF Statistic	检验回归系数	越负越拒绝H₀
p-value	显著性概率	p < 0.05 拒绝H₀ → 平稳
Critical Values (1%, 5%, 10%)	临界值	ADF < 临界值 → 平稳

# Python 示例 (statsmodels)
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
result = adfuller(series, autolag='AIC')
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p-value: {result[1]:.6f}')
if result[1] < 0.05:
    print("✅ 拒绝H₀，序列平稳")
else:
    print("❌ 无法拒绝H₀，序列非平稳")

⚖️ 3. KPSS检验 (Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin)

KPSS检验原假设与ADF相反：H₀：序列平稳（趋势平稳）。备择假设：存在单位根（非平稳）。常与ADF互为补充。

统计量	原假设	判断 (显著性0.05)
KPSS Statistic	序列平稳	统计量 > 临界值 → 拒绝H₀ (非平稳)
p-value	平稳	p < 0.05 → 非平稳

# Python 示例
from statsmodels.tsa.stattools import kpss
stat, p, lags, crit = kpss(series, regression='c')
print(f'KPSS统计量: {stat:.4f}, p-value: {p:.4f}')
if p < 0.05:
    print("❌ 拒绝H₀，序列非平稳 (存在单位根)")
else:
    print("✅ 无法拒绝H₀，序列可能平稳")

📊 ADF + KPSS 联合决策

🔄 4. 差分操作 (Differencing)

差分是消除趋势和季节性的常用手段，使非平稳序列变为平稳。一阶差分：∇Y_t = Y_t - Y_t-1。高阶差分或季节差分可处理复杂模式。

📉 一阶差分
diff1 = series.diff()

📊 二阶差分
diff2 = series.diff().diff()

🗓️ 季节差分
series.diff(12) (月度)

# 差分操作示例 (Pandas)
import pandas as pd
# 一阶差分
df['diff_1'] = df['value'] - df['value'].shift(1)
# 或直接使用 .diff()
df['diff_1'] = df['value'].diff()
# 检验差分后平稳性
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
print(adfuller(df['diff_1'].dropna()))

📋 方法对比一览

方法	原假设	适用场景	输出
ADF	非平稳 (单位根)	检测差分平稳	统计量 + p值
KPSS	平稳 (趋势平稳)	确定性趋势检验	统计量 + p值
差分	—	消除趋势/季节	新序列 (差分阶数d)

🧰 平稳性检验工作流

可视化：观察趋势、季节性、波动。
ADF检验：若p<0.05 → 平稳；否则非平稳。
KPSS检验：若p<0.05 → 非平稳；否则平稳。
联合判断：两者一致则结论可靠；若矛盾，可能为趋势平稳或需差分。
差分操作：对非平稳序列进行一阶/季节差分，重复检验直至平稳。
深度学习建模：平稳序列输入LSTM/Transformer效果更稳定。

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